Maximizar y minimizar un 12" pieza de alambre en un cuadrado y círculo

Question

Un alambre de longitud 12" puede ser doblado en un círculo, un cuadrado o un corte en 2 trozos y hacer tanto un círculo y un cuadrado. Cuánto alambre debe ser utilizado para el círculo si el área total encerrada por la figura(s) es:

a) un Máximo de

b) un Mínimo de

Lo que he conseguido hasta ahora es que la fórmula del cuadrado es $A_s=\frac{1}{16}s^2$ y el circumfrance del círculo a $P=12-c$ y el área a ser $A_c = \pi(\frac{P}{2\pi})^2$ donde $c$ es la longitud del alambre para el círculo y $s$ es la longitud del alambre de la plaza.

Ahora sé que necesito para diferenciar estas fórmulas para luego encontrar el max y min que tanto puede ser, pero ¿qué estoy diferenciando con respecto a? La variable que falta en cada una de las fórmulas?

También, una vez, me parece la derivitives, ¿qué sería de mis próximos pasos para minimizar y maximizar estos?

Y ¿puedo definir el problema correctamente?

Gracias por la ayuda

Answer 1

Deje $s$ ser la circunferencia de la plaza. A continuación, la circunferencia del círculo es $12-s$ (porque eso es lo que está a la izquierda del cable). Ahora ya calculadas las fórmulas de $A_{\mathrm{square}}(s) = \frac{1}{16} s^2$$A_{\mathrm{circle}}(s) = \frac{1}{4\pi}(12 - s)^2$. El área total es de $A(s) = A_{\mathrm{square}}(s) + A_{\mathrm{circle}}(s)$ donde $s \in [0,12]$ es la variable. Para encontrar los extremos (máximo y mínimo) de esta función, una condición necesaria es $A'(s) = 0$ (diferenciar con respecto a $s$) $0 \lt s \lt 12$ y es necesario considerar también el $A(0)$$A(12)$.

Así que la tarea que usted necesita hacer es diferenciar $A(s)$ con respecto al $s$, solucionar $A'(s) = 0$ $s$ (sólo habrá una solución $s_0$). Ahora el máximo entre $A(0)$, $A(12)$ y $A(s_0)$ será la máxima y la mínima entre ellos será el mínimo de $A(s)$. También puede ayudar si usted bosquejo de la gráfica de convencerse a sí mismo de la solución.

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Aquí una pequeña comprobación de validez: El círculo es la figura geométrica que encierra el área más grande de entre todas las figuras con el mismo perímetro, por lo que el máximo debe ser alcanzado por $s = 0$. Desde que encierra dos figuras necesidades más cable que se adjuntaba una sola, el mínimo debe ser alcanzada a $s_0$.

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Añadió:

Ya que los resultados que mencionas son un poco fuera, déjame mostrarte lo que me sale:

Primera $$A(s) = \frac{1}{16}s^2 + \frac{1}{4\pi}(12-s)^2.$$ La diferenciación de este con respecto a $s$ I get $$A'(s) = \frac{1}{8}s - \frac{1}{2\pi}(12-s)$$ Ahora solucione $A'(s) = 0$ encontrar $$s_0 = \frac{12}{1+\frac{\pi}{4}} \approx 6.72$$

Conectando en da me $A(s_0) \approx 5.04$. (Sin garantía, espero no haber metido la pata)

Answer 2

Cada tan a menudo, se puede mencionar el siguiente tipo de enfoque.

Deje $x$ ser la longitud del alambre vamos a dedicar al círculo, y $y$ de la longitud vamos a dedicar a la plaza.

Deje $A$ ser el combinado área del círculo y el cuadrado. Un cálculo idéntico al realizado por el OP muestra que $$A=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{y^2}{16}.$$

Queremos encontrar los valores de $x$ que dar el máximo y mínimo de la zona, dado que el $x$ $y$ son no negativos, y $x+y=12$.

Máximo y/o mínimo de los valores puede ser alcanzado en un extremo. Así calculamos el $A$ cuando $x=0$, $y=12$, y también cuando $x=12$, $y=0$.

El resto de los candidatos para el máximo/mínimo se con $0<x<12$. En tal candidato a $x$, tendremos $\dfrac{dA}{dx}=0$. (Estamos haciendo de una variable cálculo.)

Es fácil ver que $$\frac{dA}{dx}=\frac{2x}{4\pi} +\frac{2y}{16}\frac{dy}{dx}.$$

Pero de $x+y=12$, podemos ver que $\dfrac{dy}{dx}=-1$. Ahora tenemos dos ecuaciones en dos incógnitas $x$$y$. Resolver para $x$, calcula el $A(x)$, y comparar con los valores finales.

El procedimiento anterior no conlleva ninguna ventaja en este caso, y puede aumentar la probabilidad de error mecánico. Sin embargo, cuando la "restricción" no es lineal, no puede ser real computacional ventajas de trabajar con funciones implícitas, especialmente si la restricción se simetrías.