Deje $A \subseteq B$ ser una parte integral de extensión. Mostrar que si $A$ es un Jacobson anillo, a continuación, $B$ es también un Jacobson anillo.
Mi juicio: Vamos a $q$ ser un alojamiento ideal en $B$, y deje $p:=q^c=q \cap A$. Desde $A$ es Jacobson, $p=\cap_{m\supseteq p}m$. Por va-up, se puede encontrar un ideal maximal $n$ $B$ tal que $m=n^c=n \cap A$. Deje $r:=\cap_{n^c \supseteq p}n$,$r \cap A = \cap_{m \supseteq p}m = p$.
Pero ahora, ¿cómo puedo obtener $q=r$, de modo que $B$ es Jacobson? He encontrado un enlace explicativa acerca de esto, pero yo no podía entenderlo.
También he encontrado otro enlace, donde sugerencia para otro enfoque que se sugiere en el problema 1.
Respuesta
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Felicitaciones, usted ha hecho mucho de ti : me voy a ayudar a usted a la conclusión. El teorema de "ir arriba" es más fuerte que lo que uso : también se dice que, además de a $n\cap A=m$, se puede arreglar ese $q\subset n$. Ahora (con su definición $r=\cap n$) ha $ q \subset r$$ q\cap A=r\cap a=p $ . Un resultado útil ("incomparability"), a continuación, le permite a la conclusión de que $q=n$. Usted está en casa!
Recordatorio: incomparability Deje $A\subset B$ ser una parte integral de la extensión de los anillos. Supongamos que $Q \subset J \subset B$ son ideales tal que $Q$ es primo y que $A \cap Q=A \cap J $. A continuación, $Q=J $
[ Se asume a menudo que $J$ es también el primer pero esta suposición es innecesario]
