Este conjunto de matrices está abierto

Question

Estoy tratando de demostrar que el conjunto de las matrices cuyos autovalores con parte real cero es un subconjunto abierto de $M^n$, identificar el conjunto de matrices cuadradas con orden $n$ $\mathbb R^{n^2}$.

No sé siquiera cómo empezar, esta pregunta es muy diferente a mí, yo no uso estos conceptos topológicos en relación con los valores propios de matrices.

Realmente necesito ayuda.

Gracias de antemano

Answer 1

Como puede comprobar, por ejemplo con el teorema de Rouché, las raíces de un polinomio complejo varían continuamente con los coeficientes.

A esto más precisamente: Supongamos que $f(z) = z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_0$ tiene raíces $w_1,\dots,w_r$. Entonces, dado $\varepsilon>0$, hay $\delta>0$ para que cuando $|b_j-a_j|<\delta$ $j=0,\dots,n-1$, las raíces de $g(z)=z^n+b_{n-1}z^{n-1}+\dots+b_0$ están todos contenidos en $\bigcup\limits_{k=1}^r B(w_k,\varepsilon)$.

Answer 2

He aquí otro enfoque: mostrar que el complemento está cerrado. Así, dada una secuencia convergente $M_1,M_2,\dots\to M$ de las matrices (en algunos métrica equivalente a la usual métrica en $\mathbb R^{n^2}$), que cada uno tiene un autovalor cuya parte real es cero, queremos mostrar que $M$ tiene un autovalor cuya parte real es cero.

Hay autovalores $\lambda_i$ y vectores propios $v_i$ tal que $\mathrm{Re}(\lambda_i)=0$ $M_iv_i=\lambda_iv_i$ todos los $i$; además, se puede normalizar por lo que el $\|v_i\|=1$ $L_2$ norma. Por lo $\lambda_i=\langle M_iv_i,v_i\rangle$ donde $\langle x,y\rangle$ denota la costumbre Hermitian interior del producto ($\sum_k x_k\overline{y_k}$). Debido a que el conjunto de vectores unitarios es compacto, pasando a una larga si es necesario, podemos suponer que la $v_i$ converge para algún vector unitario $v$. Los vectores $M_iv_i= \langle M_iv_i,v_i\rangle v_i$, convergen a $\langle Mv,v\rangle v$ por la continuidad de la multiplicación, y la parte real de la $\langle Mv,v\rangle$ es claramente cero.

Answer 3

Como se ha mencionado en otras respuestas, la carne de este es mostrar que los autovalores de una matriz compleja dependen continuamente en la matriz de los coeficientes. Tenga en cuenta que dado que los valores propios son no ordenado de forma natural y puede venir con multiplicidades, uno debe hacer precisa exactamente lo que por encima de instrucción medio, y puede haber más de una interpretación razonable. Voy a tomar esto significa: para todos los $M = (m_{ij}) \in M_n(\mathbb{C})$$\epsilon > 0$, hay un $\delta > 0$ que si $M' = (m_{ij}') \in M_n(\mathbb{C})$ es tal que $|m_{ij}-m_{ij}'| < \delta$ todos los $1 \leq i,j \leq n$, a continuación, para cada autovalor $\alpha$$M$, hay un autovalor $\alpha'$$M'$$|\alpha-\alpha'| < \epsilon$, y para cada autovalor $\alpha'$ de $M'$, hay un autovalor $\alpha$$M$$|\alpha-\alpha'| < \epsilon$.

(Para responder a la pregunta, supongamos $M$ tiene un autovalor $\alpha$ con un valor distinto de cero parte real $x$, y tome $\epsilon = x$.)

Está claro que los coeficientes de la characterstic polinomio de $M$ dependen continuamente en las entradas de $M$: de hecho, son funciones polinómicas en $M$. Así que realmente necesitamos para mostrar:

Las raíces de un polinomio complejo $f = a_nt^n + \ldots + a_1t + a_0$ dependen continuamente en los coeficientes: para cada $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$ tal forma que: si $g = b_n t^n + \ldots + b_1t + b_0$ es tal que $|a_i-b_i| < \delta$ todos los $0 \leq i \leq n$, entonces cada raíz de $g$ está dentro de $\epsilon$ de algunos raíz de $f$ y viceversa.

Me plantea esta -- con $\mathbb{C}$ reemplazado por cualquier algebraicamente cerrado normativa de campo -- como un problema en un graduado de la teoría de números supuesto que me enseñó hace varios años. Fue resuelto por el Señor David Krumm (ahora el Dr. David Krumm). Me parece recordar que él resolvió varias veces (con alguna variante de la declaración), pero se establecieron en un enfoque que es simple y muy elemental. En particular, en contraste con una declaración hecha en otra respuesta aquí, uno ciertamente no necesita del Teorema de Rouch o de liquidación número de consideraciones (que no están a disposición de todos modos en cualquier normativa de campo). Su solución fue tan agradable que me lo puso a escribir: está disponible aquí.

(Tenga en cuenta que le pregunté a un par de relacionados con cuestiones preliminares que se resolvió en la página 1. Para esta pregunta, usted puede comenzar a leer en la página 2. Sólo hay dos páginas!)

Answer 4

Elegir una norma (preferiblemente el $\Vert \cdot \Vert_\infty$) y escribir, se parece a lo que %#% $ #%. Luego demostrar que cada matriz en $$B_\epsilon(M) := \{A \in M^n | \Vert M-A \Vert < \epsilon\}$ tiene un $O := \{ A\in M^n | \Re(\lambda) \neq 0 \ \forall \lambda \in \sigma(A)\}$ $\epsilon > 0$ $ para eso puede utilizar teoremas sobre la bevahiour de valores propios bajo perturbaciones pequeñas.

Answer 5

Esto es una consecuencia directa de los siguientes tres hechos:

1. La imagen inversa de un conjunto abierto en virtud de una función continua es abierto.
2. $(\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R})^n$ está abierto.
3. Los autovalores de una real o compleja matriz son funciones continuas de la matriz de entradas. Ver, por ejemplo, James M. Ortega, Análisis Numérico: Un Segundo Curso, p.45, Teorema 3.1.2. Dado que los coeficientes del polinomio característico de una matriz son polinomios en la matriz de entradas, y los autovalores son raíces del polinomio característico, es suficiente para demostrar que las raíces de un polinomio genérico $p(z)$ $\mathbb{C}$ son funciones continuas de los coeficientes de $p$. Y esto es exactamente lo que la prueba en Ortega infiere. Como señaló Ted Shifrin en otra respuesta aquí, esto se puede demostrar fácilmente con el Teorema de Rouché.