¿Podemos comprobar si un conjunto de Cantor es self-similar o no?

Question

Dado un conjunto de Cantor $C$ sobre la línea real, tenemos algunas maneras de determinar si es auto-similar o no? En particular, ¿cómo podemos comprobar que el $C$ no es auto-similar?

Editado:
Definición: Dejar $\{f_i\}_i$ ser una familia de la contracción de los mapas, es decir, $|f_i(x)−f_i(y)|=r_i|x−y|$ donde $0<r_i<1$. $C$ es auto-similar si hay mapas, por lo que el $E=\bigcup_i f_i(E)$.

Para hacer las cosas concretas, podemos considerar los siguientes central conjunto de Cantor como un ejemplo.
Supongamos $r_k = \frac{1}{k+2}$$k \geq 1$. Deje $I_e = [0,1], I_0 = [0, r_1], I_1 = [1-r_1 , 1]$. Para cada $k \geq 1$, $w \in \{0,1\}^k$, deje $I_w$ ser un subinterval en el nivel $k$. Tomamos $I_{w1} , I_{w2}$ dos subintervalos de $I_w$ colocado a la izquierda y a la derecha con longitudes $$|I_{w1}| = |I_{w2}| = |I_w| \cdot r_{k+1} . $$ A continuación, $C= \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{w \in \{0,1 \}^k} I_w$ es un conjunto de Cantor. No es auto-similar?

Answer 1

Primero de todo, auto-similares juegos no son necesariamente topológico de conjuntos de Cantor. Por ejemplo, intervalos cerrados son auto-similares, como es fácil de comprobar. Sin embargo, si asumimos (usando la notación) que las piezas $f_i(E)$ son disjuntos a pares, a continuación, $E$ es un conjunto de Cantor. Esto es conocido como el fuerte de la separación de la condición. Cuando se trata con auto-similar conjuntos más débiles de la separación que se utiliza a menudo y supone es el conjunto abierto condición: existe un conjunto abierto no vacío $U$ tal que $f_i(U)\subset U$ $f_i(U)$ son pares distintos. Cerrado intervalos son auto-similares bajo el conjunto abierto condición, por lo que el conjunto abierto condición no es suficiente para garantizar un auto-similar set es un conjunto de Cantor.

En general, no hay una forma sencilla de determinar si un determinado conjunto compacto (Cantor o no) es auto-similar. Sin embargo, la auto-similares juegos son más regular que arbitraria de conjuntos compactos. Por ejemplo:

1. Diferentes conceptos de la dimensión fractal como Hausdorff y box-counting (Minkowski) dimensión coinciden arbitrarias de auto-similares.

2. Si un auto-similares a $E$ no es un punto, entonces es estrictamente positiva de la dimensión de Hausdorff. Esto puede ser visto de la siguiente manera: después de la reorganización, deje $f_1, f_2$ ser dos de los mapas de la generación de $E$, con distintos puntos fijos (si todos los mapas tienen el mismo punto fijo, a continuación, $E$ es igual a la de punto fijo). Deje $F$ ser la auto-similares correspondientes a los mapas de $f_1^n, f_2^n$ donde $n$ es lo suficientemente grande como $f_1^n(I)$ $f_2^n(I)$ son distintos intervalos, donde $I$ es el intervalo cerrado de unirse a los puntos fijos de $f_1, f_2$. A continuación, $F$ es un conjunto similar con la fuerte separación condición, para la cual existe una conocida fórmula para la dimensión de Hausdorff que siempre es estrictamente positivo (esto también puede ser activada directamente por $F$), y $F\subset E$.

3. Bajo el conjunto abierto condición (pero no en general), la auto-similares juegos de positivo y finito medida de Hausdorff en su dimensión.

El conjunto particular $C$ definido en la pregunta, tiene la dimensión de Hausdorff $0$. Esto puede ser visto por el uso natural de las cubiertas por los conjuntos de $I_w, w\in\{0,1\}^k$, y es esencialmente una consecuencia del hecho de que $r_k\to 0$, por lo que el tamaño relativo de los intervalos de generación de $k+1$ dentro de los intervalos de generación de $k$ tiende a $0$. Desde $C$ no es un punto, por 2. anteriormente, $C$ no puede ser auto-similar.