¿Es un estimador insesgado para la desviación estándar de la distribución normal?

Question

Supongamos que tenemos muestras de $n$, % media $\mu$.

Calcular la distancia absoluta promedio de $\mu$, es decir, $$y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n | X_i - \mu| \ >.$$

Luego, se toma como una estimación de la desviación estándar $$ \tilde \sigma = y\frac{1}{1-1/n}\sqrt{\pi/2}

¿Es imparcial?

Answer 1

La propuesta de la calculadora no es imparcial, al menos si hemos hecho saber la verdadera media, $\mu$, y si estamos tratando con una muestra normal como dice el título, donde la distribución es simétrica y unimodal y la media es igual a la mediana. De manera informal, a sabiendas de que la verdadera media, hace que la media de la desviación absoluta de igual valor a la probabilidad límite de la misma expresión con $\bar X$ en lugar de $\mu$. Tenemos

$$y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |X_i - \mu| = \frac{1}{n}\left[\sum_{X_i\geq \mu} (X_i - \mu)+\sum_{X_j< \mu} (\mu - X_j)\right]$$

Denotar $m_1$ el recuento de la primera suma, y $m_2$ el recuento de la segunda suma (ambas son variables aleatorias). Luego, utilizando también Wald de la ecuación

$$E(y) = \frac{1}{n}\Big[E(m_1)E(X\mid X\geq \mu) - E(m_1)\mu + E(m_2)\mu - E(m_2)E(X\mid X\leq \mu)\Big]$$

Ya tenemos la verdadera media, que es igual a la mediana, obtenemos $E(m_1)=E(m_2) = n/2$, por lo que los dos términos centrales cancelar, mientras que substituitng para los valores esperados de los condes, tomando los factores comunes y simplificando llegamos a

$$E(y) = \frac{1}{2}\Big[E(X\mid X\geq \mu) - E(X\mid X\leq \mu)\Big]$$

Para la distribución normal truncada, estos valores esperados son

$$E(X\mid X\geq \mu) = \mu + \sigma \frac{\phi(0)}{1-\Phi(0)} = \mu +\sigma\sqrt{2/\pi}$$

$$E(X\mid X\leq \mu) = \mu - \sigma \frac{\phi(0)}{\Phi(0)} = \mu -\sigma\sqrt{2/\pi}$$

Así

$$E(y)=\frac{1}{2}\Big[\mu +\sigma\sqrt{2/\pi} - \mu +\sigma\sqrt{2/\pi}\Big] = \sigma\sqrt{2/\pi}$$

Por lo que el factor de corrección en $\tilde \sigma$ debe $\sqrt{\pi/2}$ solamente, para ser imparcial.

Me cuenta que desde $X_i - \bar X = (1-1/n)X_i - (1/n)\sum_{j\neq i}X_j$ uno sospecha que debe examinar el caso donde no sabemos $\mu$ y utilizamos la media de la muestra en su lugar, que yo pueda encontrar el tiempo para hacer más tarde.