Corriente simétrica de un colector de

Question

Que $M$ sea un múltiple liso (o complejo). Que $M^{(n)}$ su $n$-ésimo producto cartesiano. Sea $\Sigma_n$ el grupo simétrico de dimensión $n$, que actúa en $M^n$ de la manera habitual.

Pregunta: ¿es posible dar a una estructura suave (o complejo) que es, en cierto sentido, compatible con la estructura original en $M^{(n)} / \Sigma_n$ $M$?

Answer 1

Si $M$ es una superficie de Riemann / superficie compleja, a continuación, $M^{(n)}$ es un buen colector. Es bastante estándar, un argumento. Pero como Willie Wong menciona, en general $M^{(n)}$ no es un colector a menos que usted asuma más de $M$. Curiosamente, $(S^1)^{(3)}$ es de un colector y es un ejercicio divertido para averiguar cuál es.

Para la superficie de Riemann caso, considerar en primer lugar $\mathbb C^{(n)}$. Este es el espacio de n-tuplas de puntos en $\mathbb C$, pero con el orden en el olvido. Como un espacio, es homeomórficos para el espacio de monic complejas de polinomios de grado $n$ -- desde monic complejos polinomios tienen $n$ raíces hasta multiplicidad -- el bijection se da en términos de las raíces de los polinomios. Así que usted puede utilizar fundamental el dominio de la superficie de Riemann (o algún otro argumento similar) para mostrar $M^{(n)}$ es un colector de al $M$ es una superficie de Riemann.

FYI: no me acaba de inventar el argumento anterior. Es un argumento estándar utilizado en la creación de Heegaard-Floer teoría de las 3-variedades.