Uno debe, antes de iniciar la diferenciación, comprobar que la expresión se define. La función de $f$ es definida donde $-1\le 2x\sqrt{1-x^2}\le1$, es decir,
$$
4x^2(1-x^2)\le 1
$$
que se cumple para todos los $x$. Por tanto, la función $f$ se define en $[-1,1]$ a causa de la raíz cuadrada.
Aplicar la regla de la cadena; la derivada de $t\mapsto\arcsin t$$1/\sqrt{1-t^2}$; la derivada de $2x\sqrt{1-x^2}$ es
$$
2\left(\sqrt{1-x^2}+x\cdot\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\right)
=\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Para $t=2x\sqrt{1-x^2}$ hemos
$$
1-t^2=1-4x^2(1-x^2)=1-4x^2+4x^4=(1-2x^2)^2
$$
así
$$
\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{1}{|1-2x^2|}
$$
y haciendo el producto ofrece
$$
f'(x)=\frac{1}{|1-2x^2|}\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}
=\begin{cases}
\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} &\text{if %#%#%}\\[2ex]
-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} &\text{if %#%#%}
\end{casos}
$$
Por lo tanto su aparentemente contradictorios resultados ", explicó". La función no es diferenciable donde $1-2x^2>0$.
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Puede utilizar la derivada para la simplificación de la expresión de $1-2x^2<0$. Por ejemplo, cuando se $x^2=1/2$, usted sabe que
$$
f(x)=C_1+2\arcsin x
$$
y se puede determinar que $f$ mediante el cálculo de $-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$$C_1=0$. Para $f(0)=0$, usted tiene
$$
f(x)=C_2-2\arcsin x
$$
y la computación en $2\arcsin0=0$ dice $-1<x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$, $-1$, por lo $f(-1)=0$. Para $-2\arcsin(-1)=\pi$, de nuevo
$$
f(x)=C_3-2\arcsin x
$$
y $C_2=-\pi$, $\frac{1}{\sqrt{2}}<x<1$, por lo $f(1)=0$. Por lo tanto
$$
f(x)=\begin{cases}
-\pi-2\arcsin x & \text{for }x\in[-1,-1/\sqrt{2})\\
2\arcsin x & \text{for }x\in[-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}]\\
\pi-2\arcsin x & \text{for }x\in(1/\sqrt{2},1]
\end{casos}
$$
Se puede comprobar que
$$
-\pi-2\arcsin\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\pi+\frac{\pi}{2}
=-\frac{\pi}{2}=2\arcsin\frac{-1}{\sqrt{2}}
$$
y
$$
\pi-2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}=\pi\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}
=2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
confirmando que $-2\arcsin1=-\pi$ es continua en todas partes.
