Aquí está el problema: Encontrar el radio de convergencia de $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_1^n + \dots + a_k^n)z^n$ donde $|a_1| = |a_2| = \dots = |a_k| = 1$, e $a_i \in \mathbb{C}$.
Desde que la serie en cuestión es la suma de $j$ rangos de $1$ $k$de la serie $f_j(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_j^n z^n$ que se ve de inmediato que el radio de convergencia $R$ $f(z)$ al menos $\displaystyle 1$.
Supongo que tal vez el radio de convergencia $R$ es exactamente $\displaystyle 1$. Creo que usted puede ser capaz de obtener la respuesta, si usted puede demostrar que el conjunto de $\{a_1^n + \dots + a_k^n : n \ge 0\}$ tiene un valor distinto de cero punto límite dentro de $\{ z : |z| \le k \}$ o más alcanza el mismo valor que no sea cero infinitamente muchas veces, porque a continuación, en cualquiera de los casos usted puede encontrar una larga $\{n_j\}$ $|a_1^{n_j} + \dots + a_k^{n_j}|$ apartó de $0$, y por lo $|a_1^{n_j} + \dots + a_k^{n_j}|^{1/n_j} \to 1$$n_j \to \infty$.
Cualquier pensamiento acerca de cómo proceder con esta idea? O, ¿hay una mejor manera de ver esto?
Editar
(*) Por $a_j$ y cualquier $N > 0$, usted puede encontrar una $n > N$ tal que $a_j^n$ es arbitrariamente cerca de $1$. Usted puede hacer esto escribiendo $a_j^n = e^{i n \theta_j}$ y mirando a $n \theta _j$ modulo $2 \pi$.
Deje $b_i = a_i / a_1$.
Es que no es cierto que no hemos cualquiera de los límites de $\lim \limits_{n \to \infty}a_1^n + a_2^n = 0, -1, -2, \dots$. Esto es debido a que podemos encontrar una larga $\{n_k\}$ tal que $\lim \limits_{n \to \infty}a_1^{n_k} = 1$. Suponiendo que al contrario de una contradicción, por esta larga uno tendría que tener a $\lim \limits_{n \to \infty} a_1^{n_k}(1 + b_2^{n_k}) = 0, -1, -2, \dots$, de modo que $\lim \limits_{n \to \infty} (1 + b_2^{n_k}) = 0, -1, -2, \dots$ y, por tanto, $\lim \limits_{n \to \infty} b_2^{n_k} = -1, -2, -3, \dots$ lo cual es imposible por (*).
Del mismo modo, es no cierto que tenemos cualquiera de los límites de $\lim \limits_{n \to \infty}a_1^n + a_2^n + a_3^n= 0, -1, -2, \dots$. Porque de lo contrario, podemos encontrar una larga $\{n_k\}$ tal que $\lim \limits_{n \to \infty}a_1^{n_k} = 1$, y, a continuación,$\lim \limits_{n \to \infty} (1 + b_2^{n_k} + b_3^{n_k}) = 0, -1, -2, \dots$, y en este caso $\lim \limits_{n \to \infty} b_2^{n_k} + b_3^{n_k}= -1, -2, -3, \dots$ lo cual es imposible.
Continuar como este, vemos que no es cierto que no hemos cualquiera de los límites de $\lim \limits_{n \to \infty}a_1^n + a_2^n + \dots + a_k^n= 0, -1, -2, \dots$. En particular, tienen un valor distinto de cero punto límite, o un valor distinto de cero se alcanza un número infinito de veces.
No parece ser el correcto?
