Para todos $n>2$ existe un número primo entre $n$ y $ n!$

Question

Cómo demostrar que existe un número primo entre $n$ y $ n!$ para todos $ n> 2$ ?

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( El postulado de Bertrand da un límite mucho mejor, pero esta pregunta es sobre la obtención de una prueba autocontenida).

Answer 1

Dado $n>2$ . Así, para cada número entero $x$ tal que $1<x<(n+1),$ tenemos $x|n!$ y $x\not|(n!-1).$

$\therefore$ o bien $(n!-1)$ es un primo, o $\exists$ a prime $p\ge (n+1) $ tal que $p|(n!-1)$ .

En cualquier caso, $\exists$ a prime $p$ tal que $(n+1)\le p\le (n!-1)$ .

Answer 2

Para $n=2$ toma $p=2$ . Para $n\geq 3$ Toma $p$ como divisor primo de $n!-1$ (de ahí $p<n!$ ). Entonces $p>n$ si no, $p$ dividir $n!$ Por lo tanto, divide $n!-(n!-1)=1$ .

Answer 3

Caso base: $3<5<3!$

Hipótesis de inducción: Supongamos que $\exists p$ tal que $p$ es primo y $(n-1)<p<(n-1)!$

Paso de inducción: Ahora debemos demostrar que $\exists k$ tal que $k$ es primo y $n<k<n!$ .

Así que $n=p$ o $n<p<(n-1)!<n!$ Si el caso es este último, hemos terminado. Entonces, supongamos que $n=p$ . Ahora, consideramos $Q=\prod p_i$ donde $p_i\leq p$ y $p_i$ es primo. Bueno, en realidad consideramos $Q+1$ . Observe que $p<Q+1<n!$ Además, observe que ningún primo menor o igual que $p$ dividir $Q+1$ (debido al 1 sobrante). Por tanto, o bien $Q+1$ es primo o compuesto. Si $Q+1$ es de primera, hemos terminado. Si $Q+1$ es compuesto (y puesto que ningún primo menor o igual que $p$ divide $Q+1$ ) debe existir algún $q<t<Q+1<n!$ tal que $t|(Q+1)$ . Así pues, terminamos estableciendo $k=Q+1$ o $k=t$ .