Topología sobre números enteros tal que el conjunto de todos los primos es abierto

Question

En mi tarea de topología se nos pide que describamos una topología sobre los números enteros tal que:

1. El conjunto de todos los primos es abierto.
2. para cada $x\in\mathbb Z$ el conjunto $\{x\}$ no está abierto.
3. $\forall x,y \in\mathbb Z$ distinto, hay un $U\ni x$ y un abierto $V\ni y$ tal que $U\cap V=\emptyset$

Estaba mirando la topología de Furstenberg como en este prueba: Para $m, b \in\mathbb Z$ con $m > 0$ definir $N(m,b):=\{mx + b : x Z\}$ una progresión aritmética que se extiende hacia el infinito en ambas direcciones. Un conjunto $U$ está abierto si:

1. $U = \emptyset$ o
2. Para cada $b\in U$ hay un $m>0$ tal que $N(m,b)\subseteq U$ .

pero según tengo entendido el conjunto de Primas no es abierto en esta topología. Ahora no estoy seguro de lo que debo hacer: ¿hay alguna forma de modificar esta topología para que el conjunto de los Primes sea abierto o debo pensar en algo completamente diferente?

¡Se agradece cualquier sugerencia! Gracias.

Answer 1

Una forma barata de hacerlo es la siguiente:

1. Dejemos que $\mathbb{P}$ denotan el conjunto de números primos, y $\mathbb{P}^\prime = \mathbb{Z} \setminus \mathbb{P}$ .
2. Como ambos $\mathbb{P}$ y $\mathbb{P}^\prime$ son contablemente infinitas, elija las biyecciones $f : \mathbb{P} \to \mathbb{Q}$ , $g : \mathbb{P}^\prime \to \mathbb{Q}$ .
3. Definir $U \subseteq \mathbb{Z}$ sea abierto si $f [ U \cap \mathbb{P} ]$ y $g [ U \cap \mathbb{P}^\prime ]$ son ambos subconjuntos abiertos de $\mathbb{Q}$ (bajo la topología del subespacio).