Homotopía de complejos de cadena doble

Question

Considere la posibilidad de complejos $(A,d_1), (A',d_1)$, $(C,d_2), (C',d_2)$ y morfismos $f_1,f_2: (A,d_1)\to (A',d_1)$ $g_1,g_2: (C,d_2)\to (C',d_2)$ de grados $0$. Considerar el functor $(-\otimes-)$, luego $$A\otimes C = \bigoplus_{m,n} A^m\otimes C^n, \text{along with differentials}$$ $$\partial_1 = d_1\otimes C: A^n\otimes C^m\a^{n+1}\otimes C^m,$$ $$\partial_2 = (-1)^n\otimes d_2: A^n\otimes C^m\a^n\otimes C^{m+1}$$ forma un doble complejo.

Dado homotopies $s:f_1\cong f_2$$t:g_1\cong g_2$, Cartan Eilenberg afirma que $(s\otimes C, (-1)^nA\otimes t)$ de los rendimientos de un homotopy entre el$f_1\otimes g_1$$f_2\otimes g_2$, lo que he dejado de ver. Como primer paso, tenemos que comprobar que $$(s\otimes C)\partial_1+\partial_1(s\otimes C)+ (-1)^n(a\otimes t)\partial_2+ (-1)^n\partial_2(A\otimes t) = f_1\otimes g_1-f_2\otimes g_2$$ pero esto no es cierto, ya que el lado izquierdo se simplifica a $$\begin{align*} & (s\otimes C)\partial_1+\partial_1(s\otimes C)+ (-1)^n(A\otimes t)\partial_2+ (-1)^n\partial_2(A\otimes t)\\ = & (sd_1+d_1s)\otimes C+ (-1)^{2n} A\otimes (td_2+d_2t)\\ = &(f_1-f_2)\otimes C+ A\otimes (g_1-g_2) \end{align*}$$ que no es igual para el lado derecho.

Podría usted por favor me ayude a señalar lo que salió mal? Gracias. El material en cuestión es la página 63 penúltimo párrafo de Cartan Eilenberg, ver el anexo.

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Answer 1

La definición de Cartan-Eilenberg es incorrecta.

$t_i = T(A_1,\ldots, s_i,\ldots,A_r)$ Define un mapa $T(A_1, \ldots, A_i,\ldots A_r) \to T(A_1, \ldots, A'_i,\ldots A_r)$. Pero para una homotopía es necesario un mapa $T(A_1, \ldots, A_r) \to T(A'_1, \ldots, A'_r)$.

La definición correcta de la homotopía en tu caso es $u=:(s \otimes g_1, f_2 \otimes t): A \otimes C \to A' \otimes C'$. Explícitamente $$u(a\otimes c) = s(a) \otimes g_1(c) + (-1)^{\text{deg}(a)}f_2(a) \otimes t(c). CF. MacLane, homología, Cap. V, Prop. 9.1 (página 164 en mi edición).