If prueba $I+AB$ invertible entonces $I+BA$ invertible y $(I+BA)^{-1}=I-B(I+AB)^{-1}A$

Question

Tengo la siguiente pregunta :

Prueba si $I+AB$ invertible, entonces a $I+BA$ invertible y $(I+BA)^{-1}=I-B(I+AB)^{-1}A$

Me las arreglé para una prueba de que $I+BA$ invertible

Mi prueba :

Sabemos que $AB$ $BA$ tiene los mismos valores propios, y Desde $I+AB$ invertible $-1$ no es un autovalor de a $I+AB$ desde el si $-1$ es un autovalor, a continuación, $I+AB$ es singular que es una contradicción. y desde $AB$ $BA$ tiene los mismos valores propios, a continuación, $-1$ no es también un autovalor de a $I+BA$ por lo tanto $I+BA$ también es invertible.

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $(I+BA)^{-1}=I-B(I+AB)^{-1}A$

Traté de "jugar" con las ecuaciones para llegar a un extremo a otro significado que el $(I+BA)^{-1}=...=...=...=I-B(I+AB)^{-1}A$

O para mostrar que $ I=(I+BA)^{-1}(I-B(I+AB)^{-1}A)$

Pero no fue un éxito.

Alguna idea?

Gracias!

Answer 1

Supongo que el $A$ y $B$ son %#% matrices de #% aquí. En ese contexto, es invertible, con inversa $n \times n$iff $X$ $Y$. Aquí tenemos: $$\begin{array}{rcl} (I + BA)(1 - B (1 + AB)^{-1}A) &=& I + BA - B(I + AB)^{-1}A - BAB(I + AB)^{-1}A \\ &=& I + BA - B((I+AB)(I+AB)^{-1})A \\ &=& I + BA - BIA \\ &=& I + BA - BA \\ &=& I \end{matriz} $$

Answer 2

$\large{\text{Neumann}}:$ (supposing $\rho (AB) <1$) $$(I+AB)^{-1}=I-AB+(AB)(AB)-(AB)(AB)(AB)+\cdots$$ $$B(I+AB)^{-1}A=BA-(BA)(BA)+(BA)(BA)(BA)+(BA)(BA)(BA)(BA)+\dots$$ $$B(I+AB)^{-1}A=-(I+BA)^{-1}+I$$ $$(I+BA)^{-1}=I-B(I+AB)^{-1}A$$

Answer 3

Hacer el producto:\begin{align*} (I+BA)(I-B(I+AB)^{-1}A) ={}& I-B(I+AB)^{-1}A + BA - BAB(I+AB)^{-1}A={} \\ {}={}& I-B(I+AB)^{-1}A + BA - B(I + AB - I)(I+AB)^{-1}A ={} \\ {}={}& I-B(I+AB)^{-1}A + BA - B((I + AB)(I+AB)^{-1} - (I+AB)^{-1})A ={} \\ {}={}& I-B(I+AB)^{-1}A + BA - B(I - (I+AB)^{-1})A {} \\ {}={}& I-B(I+AB)^{-1}A + BA - BA + B(I+AB)^{-1}A = I \end{align*}