Tengo las soluciones a los ejercicios 5.16-5.19 de la Introducción al Álgebra Conmutativa de Atiyah-Macdonald, pero no en el orden deseado; me encuentro con que necesito los ejercicios posteriores para hacer los anteriores, y eso me ha frustrado. Los conjuntos de soluciones en línea (cuento cinco, en varias etapas de terminación) parecen no notar este problema o tratarlo como algo demasiado obvio para merecer consideración.
Para el contexto, la primera parte de 5.16 es el lema de normalización de Noether, que está bien, y 5.18 es el lema de Zariski, que se demuestra en el texto dos veces, y es accesible a (al menos) dos pruebas naturales en este punto.
Lo que no puedo hacer es obtener la segunda parte de 5.16 sin usar 5.17, o demostrar 5.17 sin usar 5.18. Además, en 5.19 se pide específicamente que se demuestre 5.17 utilizando 5.18 (lo que puedo hacer), por lo que la implicación fuerte es que las soluciones originales no deberían requerir el uso del Lemma de Zariski.
$k$ es un campo infinito, que se supone cerrado algebraicamente en 5.17 pero no en 5.16.
La primera parte de 5.17 es que si una variedad afín $X$ en $k^n$ tiene el ideal $I(X)$ un subconjunto adecuado de $k[t_1,\ldots,t_n]$ entonces $X$ no está vacío. Esto se deduce inmediatamente de la segunda parte de 5.16.
La segunda parte de 5.16 es que para cualquier subvariedad $X$ de $k^n$ hay un $r \leq n$ y un mapa lineal $k^n \to k^r$ tomando $X$ en todos los $k^r$ . El mapa candidato natural se desprende de la normalización de Noether, pero mi enfoque de la subjetividad parece requerir la segunda parte de 5.17.
La segunda parte de 5.17 es que todo ideal maximal de $k[t_1,\ldots,t_n]$ es de la forma $(t_1 - a_1,\ldots,t_n - a_n)$ para algunos $a_i \in k$ . A partir de esto se puede mostrar un resultado similar para el anillo de coordenadas de una subvariedad de $k^n$ .
Así que este lío se arreglará si puedo probar las segundas partes de 5.16 y 5.17 sin referencia a material posterior.
Más detalladamente, mi enfoque actual de la segunda parte de 5.16 es el siguiente. La normalización de Noether muestra $A$ es integral sobre algún anillo polinómico $A' := k[y_1,\ldots,y_r]$ en $r \leq n$ indeterminados. La prueba de la normalización de Noether, al menos en el caso $k$ es infinito, da el $y_i$ como $k$ -combinaciones lineales de los generadores naturales $x_1,\ldots,x_n$ de $A$ las funciones de coordenadas en $X$ . Si decimos $y_i = \sum a_{ij} x_j$ entonces la proyección $k^n \to k^r$ debe ser dada por $(z_1,\ldots,z_n) \mapsto \big(\sum_{j=1}^n a_{1j}z_j,\ldots,\sum_{j=1}^n a_{rj}z_j,\big)$ . Para mí no es inmediatamente obvio que sea surjetivo. Sin embargo, dejando que $\textrm{Max}(A) \subseteq \textrm{Spec}(A)$ denotan el conjunto de ideales máximos de $A$ Los resultados del capítulo 5 muestran que el mapa $\textrm{Max}(A) \to \textrm{Max}(A')$ inducido por $k^n \to k^r$ es suryente. Si conocemos cada ideal maximal de $A$ es de la forma $(x_1-c_1,\ldots,x_n-c_n)$ para algunos $(c_1,\ldots,c_n) \in X$ , entonces podemos identificar $X$ y $\textrm{Max}(A)$ y eso mostrará el mapa $X \to k^r$ es surjetivo. Sin embargo, parece que eso no es lo que quieren, y además es demasiado trabajo.
Mi enfoque actual para la segunda parte de 5.17 es utilizar el Nullstellensatz débil (si $k$ es algebraicamente cerrado y $\mathfrak a$ es un ideal propio de $k[t_1,\ldots,t_n]$ entonces hay al menos un punto de $k^n$ en el que $\mathfrak a$ desaparece). El Nullstellensatz débil implica la primera parte de 5.17, pero la implicación inversa no me parece evidente. Esta implicación está ciertamente demostrada, por ejemplo, por el Nullstellensatz fuerte, pero eso sería perder completamente el punto.
Actualización : Para aclarar, el texto de 5.16, excluyendo una larga pista sobre la primera parte, es el siguiente.
Dejemos que $k$ sea un campo y que $A \neq 0$ sea una entidad finitamente generada $k$ -de la álgebra. Entonces existen elementos $y_1,\ldots,y_r \in A$ que son algebraicamente independientes independientes sobre $k$ y tal que $A$ es integral sobre $k[y_1,\ldots,y_r]$ . Supondremos que $k$ es infinito . (El resultado sigue siendo cierto si $k$ es finito, pero se necesita una prueba diferente).
...
De la prueba se deduce que $y_1,\ldots, y_r$ pueden elegirse como combinaciones lineales de $x_1,\ldots,x_n$ . Esto tiene la siguiente interpretación geométrica si $k$ es algebraicamente cerrado y $X\!$ es una variedad algebraica afín en $k^n$ con anillo de coordenadas $A \neq 0$ entonces existe un subespacio lineal $L$ de dimensión $r$ en $k^n$ y una cartografía lineal de $k^n$ en $L$ que mapea $X\!$ en $L$ [Utilice el ejercicio 2].
Me había olvidado de esa pista... Esto es lo que dice el Ex. 5.2 dice.
Dejemos que $A$ sea un subring de un anillo $B$ tal que $B$ es integral sobre $A$ , y que $f\colon A \to \Omega$ sea un homomorfismo de $A$ en un campo algebraicamente cerrado $\Omega$ . Demostrar que $f\!$ puede extenderse a un homomorfismo de $B$ en $\Omega$ . [Utilice (5.10).]
