¿Por qué es $\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)}\text{d}z$ un entero?

Question

Deje $f$ ser holomorphic en un conjunto abierto $\Omega \subset \mathbb{C}$ $\gamma$ de una curva cerrada en el interior de $\Omega$, en el que $f$ nunca se desvanece.

Son estas hipótesis suficiente para concluir que $\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)}\text{d}z$ es un número entero? Si no, ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que?

Puedo probarlo suponiendo, por ejemplo, que el $\Omega$ es convexo y que $\gamma$ es un círculo, pero he visto a gente suponiendo que esto es cierto en muchos contextos: por ejemplo, cuando se $\Omega$ es un anillo alrededor de $0$ $\gamma $ es una curva arbitraria en su interior. Que no es obvio para mí en absoluto.

Gracias!

Answer 1

Uno debe exigir que $\gamma$ no pasa a través de los ceros de la izquierda de $f$. Si $\gamma$ pasa a través de un cero de $f$, entonces la integral no existe como una integral de Lebesgue, pero bajo suave supuestos sobre la regularidad de $\gamma$ todavía se puede interpretar como un valor principal de la integral. Sin embargo, en ese caso, el valor principal no tiene que ser un número entero.

Si $\gamma$ no pasar a través de cualquier cero de $f$, para luego destacar que $\frac{f'}{f}$ es la derivada de cualquier rama local de $\log f$ se deduce la afirmación. Supongamos que $\gamma \colon [0,1] \to \Omega \setminus f^{-1}(0)$, y establecer $z_0 = \gamma(0)$. Mediante la existencia de ramas de $\log f$$\Omega \setminus f^{-1}(0)$, se encuentra que

$$f(\gamma(t)) = f(z_0)\cdot \exp \biggl( \int_{\gamma\lvert_{[0,t]}} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz\biggl)$$

para todos los $t\in [0,1]$. Desde $\gamma(1) = \gamma(0)$ se sigue que

$$\exp\biggl( \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz\biggr) = 1,$$

que es equivalente a la afirmación.

Answer 2

Sí, porque esa es la Derivada Logarítmica de $f$ y si es meromorphic, tendrá residuo $\pm n$, ya sea a partir de un cero de orden $n$, o de un polo de orden $n$ dentro de su contorno.

La elección de cualquier círculo pequeño $w=\rho\exp(i\theta)$ alrededor de los cerrados de la singularidad o cero y el uso de la rama principal del logaritmo,

$$ \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{ps}{w}=\frac{\pm n}{2\pi i}\int_{-\pi}^\pi \frac{i\rho\exp(i\theta)d\theta}{\rho\exp(i\theta)}=\frac{\pm n}{2\pi i}\int_{-\pi}^\pi i d\theta=\frac{\pm n\cdot 2\pi i}{2\pi i}=\pm n $$

(Con mis disculpas por supuesto a Daniel Fischer mucho más completa de la respuesta)

Y por cierto, que la liquidación número de $f$ R Martin dice en su comentario.