Paquetes de vectores inestable

Question

Como seguimiento de me otra pregunta, ¿qué puede decirse de fibrados vectoriales inestables? Sé que esto es algo abierto, pero con un subbundle de vertiente estrictamente mayor implica ¿qué tipo de cosas horribles?

Answer 1

Otra de las razones detrás de la noción de estabilidad es el "salto fenómeno". Es decir, usted puede construir una familia de vectores paquetes parametrizadas por el disco donde todas las fibras de distancia desde el origen son mutuamente isomorfos, pero no isomorfo a la fibra en el origen. Concretamente, usted puede darse cuenta de esto mediante la ampliación de una clase de extensión. En el Atiyah-Bott-Kempf-Ness imagen, esto corresponde a la no-cerrado órbitas de los complejos de calibre grupo. Cuando la base del colector tiene dimensión mayor que uno, las piezas en el más Difícil-Narasimahan de filtración no puede ser subbundles, por lo que la limitación del objeto es en general una torsión libre de gavilla, y no necesariamente un paquete.

Answer 2

Bueno, yo no sé acerca de horrible. Hay mucho que usted puede decir que es bueno! Voy a empezar a divagar y a ver donde termino.

Voy a fingir que dijo el director de GL(n)-paquete en lugar de rango n vector paquete. Misma cosa, en realidad, ya tenemos el estándar de representación.

La colección de Bun(n,C) de todos los principales GL(n) paquetes de P en una curva suave C es un muy buen objeto geométrico: es un Artin de la pila. No está conectado; los diferentes componentes están marcados por los datos topológicos, como la clase de Chern. La tangente de un "espacio" (complejo, realmente) Bun(n,C) en un punto P es, naturalmente, la deriva global secciones RGamma(C,ad(P)), donde ad(P) es la asociada paquete de fibra de los adjuntos representación de GL(n). El cero-th cohomology da la infinitesimal automorfismos y el 1 de cohomology da las deformaciones. Por lo que el grupo estabilizador de cualquier punto de V en un Moño(n,C) es finito-dimensional, y la dimensión de la pila es n(g-1) (por Riemann-Roch). Bun(n,C) es lisa y sin obstáculos, gracias a la desaparición de la H^2(C,ad(P)).

Bun(n,C) tiene una muy buena estratificación, demasiado. Es un aumento de la unión de cociente pilas [/G] de variedades proyectivas por finito-dimensional grupos. Aproximadamente, Una es la pila de pares (P,t), donde t es una banalización de la P en un infinitesimal barrio de algún punto en C. Hacer el vecindario lo suficientemente grande, es decir, r-ésimo orden, y puede matar a todos los automorfismos de P. por Desgracia, excepto para n=1, no es uniforme obligado en r que funciona para todos los paquetes. Así, Bun(n,C) no es un número finito de tipo cociente de la pila.

También puede darse cuenta de Bun(n,C) (homotopically) como el infinito de tipo cociente de la pila de U(n)- conexiones del modulo complexified medidor de transformaciones. Eso es lo que Atiyah Y Bott hacer en su papel de "El Yang-Mills Ecuaciones de las Superficies de Riemann". (También tienen una buena discusión de la pendiente de la estabilidad y la estratificación.)

La parte superior de los componentes de la estratificación (los paquetes donde el grupo estabilizador es tan pequeño como sea posible) es la pila de (semi-)estable vector de paquetes. Si usted toma el grueso del espacio de moduli de este substack, se obtiene el habitual espacio de moduli de estabilidad de los paquetes.

En resumen: Si se le cae la estabilidad de las condiciones, usted obtiene mucho más de la geometría con una personalidad similar, y sin los bits aleatorios de barbaridades que afloran en la teoría de espacios de moduli. (por ejemplo, la pila siempre lleva un paquete universal, no necesita el rango y la clase de chern a ser coprime.)

OK, voy a dejar de evangelizar ahora.

Answer 3

Reider la prueba de la Fujita conjetura de que en una superficie lisa, K+4A es muy amplio, siempre que Una es amplio, se basa fundamentalmente en la Bogomolov inestabilidad teorema. I. e. Es precisamente la Bogomolov la inestabilidad del vector paquete producida por Serre de la construcción asociada a un posible punto de partida de una serie lineal de K+L, bajo ciertas condiciones en las clases de chern, que permite concluir el resultado. Esta técnica parece haber jugado un papel importante en el estudio de la linealidad de la serie desde ese momento. Ver Igor Reider del papel en los Anales de las Matemáticas, (1988), o el artículo de Lazarsfeld en el volumen 3 de la NIC Parque de la Ciudad de serie, el Complejo de la geometría algebraica.

Si usted prefiere la frase de que la mala conducta relacionada con la inestabilidad, supongo que podría, ya que esto demuestra que la presencia de algo malo, es decir, un punto de base, implica inestabilidad, por lo que las fuerzas de algo más (la presencia de ciertas curvas a pesar de que el punto de base en la superficie), que si no es malo, al menos es bastante especial. Y esto le permite clasificar todos los casos en que el original de mal comportamiento se produce. Para determinados paquetes sólo puede ser inestable en lugar de maneras inusuales.