Muestran que

Question

Dado que el $\sqrt{2}>1.4$ y $(1+\sqrt{2})^5<99$, necesito demostrar que $2^{\sqrt{2}}>1+\sqrt{2}$

De las desigualdades dadas, deduzco que $(1+\sqrt{2})<\sqrt[5]{99}$ y $2^{\sqrt{2}}>2^{1.4}$. Pero no estoy seguro sobre cómo combinar (si es posible) las desigualdades para obtener el resultado deseado.

Answer 1

También puede utilizar la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^\alpha \geq 1+ \alpha x$, $x >-1$ y $\alpha \geq 1$: $$2^\sqrt{2} = (1+1)^\sqrt{2} \geq 1 +\sqrt{2} \cdot 1 = 1 +\sqrt{2} $ $

Answer 2

$$2^{1.4} = 2^{7/5} = (2^7)^{1/5} = 128^{1/5} > 99 ^{1/5}$$

Answer 3

Hacer ejercicio

$$ \Big (2 ^ {\sqrt {2}} \Big)^5 > \Big (2 ^ {1,4} \Big)^5 = 2 ^ 7 > 99 > \Big (1 + \sqrt{2} \Big)^5 $$

Answer 4

¿Qué es $2^{1.4}$ poder del $5$-th? $1.4\times 5=7$ so $(2^{1.4})^5=2^7=128>99$.

Por lo tanto, $2^{1.4}>\sqrt[5]{99}$ y usted puede terminar allí.