Contraejemplo para subir Teorema

Question

Estoy buscando un ejemplo que demuestra que integral extensiones son necesarias para subir teorema.

Básicamente quiero anillos $A\subset B$ (extensión no integral), que miente sobre sostiene, pero subiendo no tiene.

Answer 1

Que $O$ ser un anillo discreto de la valuación y que $t$ su elemento principal. El teorema de mentira más tiene en el polinomio extensión $O\subset O[x]$, pero no el ir-para arriba-teorema: el ideal generado por el polinomio $tx-1$ es primo, se encuentra en $0$, pero es máximo puesto que $O[1/t]$ iguala el campo fracción de $O$.

Tenga en cuenta también que el teorema de ir abajo sostiene, puesto que la extensión es fielmente plana.

Answer 2

Integralidad no es una condición necesaria para GU (subiendo). Un simple contraejemplo es $k\subset k[X]$, donde $k$ es un campo.

De hecho, GU está satisfecho por defecto, porque $0$ es el ideal solo principal de $k$ (y LO y GD se mantenga por la misma razón). Pero claramente, $k[X]$ no es integral en $k$.