Integración de $x/(x-2)$ $0$ $5$

Question

¿Cómo sería una sola vez sobre la integración de los siguientes?

$$\int_0^5 \frac{x}{x-2} dx$$

Parece que necesita usar la división larga, divide en dos integrales y los límites de uso. No estoy muy seguro sobre la parte de límites.

Answer 1

El integrando $\frac{x}{x-2}$ tiene una asíntota vertical en $x=2$. Por lo tanto la integral $$ \begin{equation*} I=\int_{0}^{5}\frac{x}{x-2}dx=\int_{0}^{2}\frac{x}{x-2}dx+\int_{2}^{5}\frac{x }{x-2}dx=I_{1}+I_{2} \end{ecuación*} $$ es una integral impropia de segunda especie. Existe sólo si ambas integrales $I_{1}$ $I_{2}$ existen. Vamos a calcular la primera usando el la sustitución de $u=x-2,dx=du$, como ya se ha comentado $$ \begin{eqnarray*} I_{1} &=&\int_{0}^{2}\frac{x}{x-2}dx=\int_{-2}^{0}\frac{u+2}{u} du=\int_{-2}^{0}1du+\int_{-2}^{0}\frac{2}{u}du \\ &=&2+2\int_{-2}^{0}\frac{1}{u}du=2+2\ln \left\vert u\right\vert _{-2}^{0}=2+2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\ln \left\vert u\right\vert _{-2}^{-\varepsilon },\quad \varepsilon >0 \\ &=&2+2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\ln \left\vert -\varepsilon \right\vert -2\ln \left\vert -2\right\vert \\ &=&2-2\ln 2+2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\ln \varepsilon . \end{eqnarray*} $$ Desde $\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\ln \varepsilon $ ($\varepsilon>0$) doesn't exist, the integral $\int_{-2}^{0}\frac{2}{u}du$ ¿ no coinciden, y no $I_{1}$. Del mismo modo, podríamos concluir que el $I_{2}$ no convergen así.

Answer 2

Sí, exactamente, lo que tú quieres hacer uso de la "división larga"...

Nota, dividiendo el numerador por el denominador da:

$$\int_0^5 {x\over{x-2}} \mathrm{d}x = \int_0^5 \left(1 + \frac 2{x-2}\right) \mathrm{d}x$$

Ahora simplemente dividir la integral en la suma de dos integrales:

$$\int_0^5 \left(1 + \frac 2{x-2}\right) \mathrm{d}x \quad= \quad\int_0^5 \,\mathrm{d}x \;\; + \;\; 2\int_0^5 \frac 1{x-2} \,\mathrm{d}x$$

El problema, claro, es lo que sucede con los límites de integración en la segunda integral: Si $u = x-2$, entonces los límites de integración se vuelven $\big|_{-2}^3$, y vamos a ver que la integral no convergen - hay una discontinuidad en $u = 0$, y, de hecho, una asíntota vertical en $x = -2$, por lo tanto el límite de la integral se evalúa como $u \to 0$ no existe, por lo que la integral no converge. Y por lo que la suma de las integrales no convergen.

Answer 3

Shashwat, no es la primitiva de $1/x$ $\ln(x)$, $\ln|x|$. Así que en el cómputo habría cualquier logaritmo natural de $-2$. La razón de que esta integral no existe, es como se indica anteriormente, la discontinuidad temas $x=2$.

Answer 4

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{dx}}{{ax + b}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{a}}}$$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{dt}}{{t}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{a}}}$ $\ln| t| + C =$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{a}}}\ln| ax + b| + C$.

donde

$ax + b = t$