Necesito ayuda para visualizar un conjunto (lectura de grupos abelianos)

Question

Estoy leyendo Álgebra Abstracta. No consigo visualizar el siguiente ejemplo:

Sea $n$ sea un número entero positivo, y consideremos el conjunto $S_n$ de todos los permutaciones del conjunto $n = {1, 2, \ldots , n}$ a sí misma. Sea $n = 3$ y considerar el grupo $S_3$ . Dos de las permutaciones de este grupo son $\phi_1$ y $\phi_3$ donde $\phi_1$ envía $1$ t y transpone $2$ y $3$ y $\phi_3$ envía $3$ t transpone $1$ y $2$ .

Apliquemos la operación de grupo a este par de permutaciones, buscando en $\phi_1\circ \phi_3$ y $\phi_3\circ \phi_1$ . T $\phi_1\circ \phi_3$ tiene en $1$ es $(\phi_1\circ \phi_3)(1) = \phi_1(\phi_3(1)) = \phi_1(2) = 3$ pero el efecto que $\phi_3\circ \phi_1$ tiene en $1$ es $(\phi_3\circ \phi_1)( 1 ) = \phi_3(\phi_1(1)) = \phi_3(1) = 2$ . Por lo tanto $\phi_1\circ \phi_3 \neq \phi_3 \circ \phi_1$ .

No entendí lo que pasó aquí.

Mi intento: $S_3$ debería haber $6$ elementos. ¿Cuáles son $\phi_1$ y $\phi_3$ ¿Aquí?

No veo cómo/por qué $\phi_3(1)=2$ y $\phi_1(2)=3$ . Por favor, aconséjeme.

Answer 1

Repasando las reflexiones en el orden de la imagen, se puede ver que se termina con lo que etiqueté como $r_1$ (la mayoría de los libros utilizan $\rho$ para denotar rotaciones. paint no tiene griego. >_<)

Repasar las reflexiones en el otro orden te dará lo que etiqueté como $r_2$ .

El objetivo del ejercicio es mostrar que las reflexiones no son abelianas porque puedes hacer las cosas en un orden diferente y obtener resultados diferentes y no son un subgrupo porque puedes obtener algo distinto de una reflexión (las rotaciones por sí mismas son sin embargo un subgrupo abeliano).

Answer 2

Su conclusión debe ser que $$\phi_1 \circ \phi_3 \neq \phi_3 \circ \phi_1,$$ lo cual es correcto. El grupo $S_3$ es un ejemplo estándar (de hecho, el ejemplo más pequeño) de un noabeliano en el que (por definición) no todos los pares de elementos conmutan.

En cuanto a la visualización, me gusta pensar en $S_3$ como el grupo de isometrías (simetrías) que fijan un triángulo equilátero. Por ejemplo, podemos etiquetar los vértices $1, 2, 3$ en cuyo caso podemos identificar (por ejemplo) $\phi_1$ como la reflexión que fija el vértice $1$ e intercambios $2$ y $3$ . En esta realización, las transposiciones son reflexiones, y las $3$ -los ciclos son rotaciones.

Del mismo modo, se puede visualizar $S_4$ como el grupo de isometrías de un tetraedro regular; después de esto uno se queda sin unas dimensiones fácilmente visualizables, por lo que se puede preferir ver $S_n$ , $n > 4$ como el conjunto de barajadas de una baraja de $n$ tarjetas.