Convergencia de una secuencia recursiva

Question

Un amigo me dio el siguiente problema:

Deje $c$ ser cualquier número real positivo. Definir una secuencia de forma recursiva por $$a_0=c,\;\text{and }\; a_n=c^{a_{n-1}}\;\text{for }\;n=1,2,\ldots$$ Para qué valores de a $c$ no esta secuencia converge?

El problema es más complicado de lo que parece, ya que creo que hay valores de $c>1$ para que la secuencia converge, y también los valores de $0<c<1$ para que la secuencia se bifurca. Se supone que esta es capaz de ser resuelto por el primer año de cálculo estudiante, de manera elemental los métodos preferidos son.

Una segunda pregunta: Supongamos que la respuesta a la primera pregunta es un conjunto $D\subset\mathbb{R}^+$. A continuación, tenemos una función definida por el $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ $f(c)=L_c$ donde $L_c$ es el límite de la secuencia definida anteriormente. Es $f$ continua? Es $f$ diferenciable?

Gracias!

Answer 1

Esta operación se conoce como Tetration.

Como se indica en wikipedia, Euler demostró que converge para $e^{-e}\leq c\leq e^{1/e}$ y diverge si no.

Answer 2

Definir $A=a_\infty$$c^A=A$, $A$ es un punto fijo de $c^z$. Considerar que para que una infinitesimal $dz$

$c^{A+dz}=c^{dz} c^A =c^{dz} A = (1+ \ln(c){dz})A = A+ \ln(c^A){dz} = A+ \ln(A){dz}$.

Así exponenciación mapas de ${A+dz}$ a $A+ \ln(A){dz}$ o, más sencillamente, ${dz}$ a $\ln(A){dz}$. Pero esto significa que $\ln(A)$ es el multiplicador o de Lyapunov característica en $A$ del punto fijo de $c^z$.

La pregunta ahora es ¿dónde está el multiplicador exactamente en el círculo unidad. Para multiplicadores en el interior del círculo unidad hemos de convergencia y con el multiplicador fuera del círculo unidad tenemos divergencia. Por lo tanto, $\ln(A) = exp(2 \pi i x)$ $A = exp(exp(2 \pi i x))$ donde $x$ varía de cero a uno.

Desde $a^A=A$, $A^\frac{1}{A} = a $. Por lo que la curva de $exp(exp(2 \pi i x))^{exp(exp(2 \pi i x))^{-1}}$ da el límite de convergencia.

Ver Proyectivas De Los Fractales.