Es $\sum\limits_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}}\frac{(-1)^{k}}{2k+2}$ igual a $\frac{1}{2n+2}$ ?

Question

En la página 146 de _Principios del análisis matemático Rudin afirma que $\int_{0}^{1} x(1-x^2)^ndx=\frac{1}{2n+2}$ . Pero evaluando la integral he encontrado que es igual a $$\int_{0}^{1}x(\sum\limits_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}(-x^2)^k)dx=\int_{0}^{1}\sum\limits_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}(-1)^{k}x^{2k+1}dx=\sum\limits_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}(-1)^{k}\frac{x^{2k+2}}{2k+2}$$ evaluado en $x=1$ que es igual a $\sum\limits\{k=0}^{n} {{n}\choose{k}}\frac{(-1)^{k}}{2k+2}$ . Así que ahora me pregunto, ¿por qué esto es igual a $\frac{1}{2n+2}$ ?

Answer 1

$$\begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom{n}k\frac{(-1)^k}{2k+2}&=\frac{1}2\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\binom{n}k(-1)^k\\ &=\frac{1}2\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}(-1)^k\\ &=\frac{1}{2n+2}\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}k(-1)^{k-1}\\ &=\frac{-1}{2n+2}\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}k(-1)^k1^{n+1-k}\\ &=\frac{-1}{2n+2}\left(\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}k(-1)^k1^{n+1-k}-\binom{n+1}0(-1)^01^{n+1}\right)\\ &=\frac{-1}{2n+2}\left((-1+1)^{n+1}-1\right)\\ &=\frac{1}{2n+2} \end{align*}$$

por el teorema del binomio.

Answer 2

SUGERENCIA:

Obsérvese que podemos escribir

$$\frac{1}{2k+2}\,\binom{n}{k}=\frac{1}{2n+2}\binom{n+1}{k+1}$$

A continuación, se sustituye esto en la suma, se desplaza el índice de $k$ a $k'=k+1$ por lo que los nuevos límites de la suma son $k'=1$ a $k'=n+1$ y utilizar $\sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k}(-1)^k=0$ .

Answer 3

¿Por qué no utilizar la sustitución $1-x^{2}=t$ para cambiar la integral a $$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}t^{n}\,dt=\frac{1}{2n+2}$$ Pero usted parece más interesado en la relación entre su suma y el valor de la integral de manera directa como se da en las respuestas de Brian Scott y el Dr. MV.

Answer 4

Una exageración. La identidad de Melzak nos dicen que $$f\left(x+y\right)=y\dbinom{y+n}{n}\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{f\left(x-k\right)}{y+k} $$ donde $f$ es un polinomio algebraico hasta dergee $n$ x,yin\nmathbb{R},\n, y\neq-1,\dots-n . Así que tomando $f\equiv1 $ y $y=1$ obtenemos $$1=\dbinom{1+n}{n}\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{1}{1+k} $$ por lo que $$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{1}{1+k}=\color{red}{\frac{1}{n+1}}\tag{1} $$ ahora sólo hay que multiplicar ambos lados de $(1)$ por $1/2$ .