Grupos con la misma álgebra de mentira

Question

Tuve un problema al considerar la ruptura de simetría en un SO(4) teoría de gauge:

$\mathcal{L} = \left| D_\mu\phi \right|^2$

donde $D_\mu$ es el SO(4) derivada covariante. A continuación, suponiendo que hay algunas posibilidades de que haya un mínimo de tal manera que podamos elegir el estado del suelo a ser:

$\langle \phi \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & v \end{pmatrix}^{T}$

Después de esto, encontré que la ininterrumpida de los generadores que tienen para generar un subgrupo de SO(4) y de que sus generadores de cumplir con la $\mathfrak{su}(2)$ álgebra. Ahora quería a la conclusión de que, por tanto, la ininterrumpida subgrupo es SU(2). Pero hay varios grupos que tienen este mismo álgebra, por ejemplo, PARA(3) también lo hace. Cómo hago para saber cual es la correcta subgrupo? Es allí cualquier manera de ver esto de una forma explícita de los generadores? (por ejemplo, la dimensión de la representación)

Answer 1

El vector $(0,0,0,v)$ se deja invariante el conjunto de matrices de la forma \begin{align*} M=\begin{bmatrix} R & \vec 0 \\ \vec 0^T & 1\end{bmatrix} \end{align*} donde $\det(M)=\det(R)=1$ $M^{-1}=M^T$ implica $R^{-1}=R^T$. Por definición, $SO(3)$ es el grupo de 3 por 3 ortogonal de matrices con determinante 1.

En general, usted necesita saber la Mentira propio grupo para encontrar la correcta subgrupo (es decir, usted no puede encontrar el subgrupo del álgebra). Este es precisamente por casos como el de $SU(2)$ $SO(3)$ que han isomorfo tangente espacios, pero que tienen diferentes propiedades globales.

Answer 2

A una Mentira álgebra $\mathfrak g$ hay un único grupo de $\tilde G$, llamado el universal cubriendo grupo, con la propiedad de ser simplemente conectado. Por ejemplo, la cobertura de grupo de la álgebra $\mathfrak{su}(2)$$SU(2)$.

Los otros grupos, $\{G\}$, asociadas a la misma álgebra puede ser obtenido a partir de la cobertura de grupo de la siguiente manera $$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$$ donde $Ker(\rho)$ es el núcleo del grupo homomorphism $\rho:\tilde G\rightarrow G$. Una vez que haya definido una representación particular que son capaces de calcular este kernel. Por ejemplo, usted comienza con un $\mathfrak{su}(2)$ álgebra. Entonces, si usted elige el medico adjunto de la representación se puede demostrar que los $Ker(\rho)=\mathbb Z_2$ y el grupo se $G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$. Por otro lado, si usted elige la definición de la representación que usted obtenga $Ker(\rho)=\mathbb 1$$G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$.

Hay algunos detalles técnicos necesarios para calcular los kernel. En general, $$Ker(\rho)\subset\mathcal Z(\tilde G),$$ donde $\mathcal Z(\tilde G)$ es el centro de la $\tilde G$, y este centro es un grupo finito que puede ser obtenido a partir de la extendida diagrama de Dynkin.

Mismas referencias: Cornwell, grupo de teoría en la física, 1984; De oliva, Turok, Nucl Phys B215, 1983, p470;