Mostrar no es isomorfo a $S_4$ $D_{24}$ mirando sus centros

Question

Cada prueba parece utilizar un argumento que se ve en las órdenes y encuentra un elemento con un orden determinado en $S_4$ y ningún elemento en $D_{24}$ tiene ese orden...

¿No sería mucho más fácil mirar los centros? El centro de $S_4$ es a $\{e\}$ pero el centro $D_{24}$ tiene dos elementos en ello... por lo tanto no puede existir un isomorfismo.

Answer 1

(Sólo para esta pregunta tiene una respuesta.)

Por supuesto, esto es una prueba válida. Si sería más fácil es discutible. Mostrando el centro de la $D_{24}$ contiene dos elementos no es tan malo como no hay un estándar de generación conjunto con simples relaciones. No sé cómo de fácil es para mostrar que $S_4$ ha trivial centro. Además, la definición de orden de un elemento se presenta generalmente antes de la definición del centro de un grupo, por lo que las pruebas que he visto puede ser considerado más elementales.