¿Qué es el espacio de móduli, y ¿por qué nos preocupamos por?

Question

1. ¿Qué es el espacio de móduli de un QFT?

2. ¿Qué significa exactamente que hay diferentes inequivalent vacua?

3. ¿Alguien puede dar una definición precisa del espacio de moduli y algunos ejemplos fáciles?

4. Y ¿por qué es tan importante y estudiado hoy en día?

Answer 1

Creo que sería útil para migrar preguntas 1,3 a las matemáticas.SÍ, como por el lado matemático de la historia, creo que todo gravita en torno a la idea de espacio de moduli (un módulo de ser -que yo sepa - el viejo nombre de "el conjunto de valores de una determinada variable toma tan pronto como se ejecuta sobre un cierto conjunto (a menudo un continuum)").

La idea de un "módulos problema" es central en la moderna Geometría Algebraica, y que está profundamente entrelazado con la Física: yo no soy un experto en el segundo campo, pero te puedo dar una (bastante heurística) idea de la primera. Usted se dará cuenta en un tiempo que el tema es realmente enorme; todo lo que sigue no es la intención de esforzarse por el rigor.

La idea es bastante simple, de hecho. Como un primer ejemplo considerar el genérico cónica en el plano proyectivo $\mathbb P^2(k)$; como ustedes saben, una geométrica locus es el cero de un polinomio que depende de un determinado conjunto de coeficientes: más exactamente, usted tiene que considerar el polinomio $$ un X_0^2 + 2 b X_0 X_1 + 2 c X_0 X_2 + d X_1^2 + 2 e X_1X_2 + f X_2^2=0 $$ donde $(a,b,c,d,e,f)$ puede en su propio derecho, se identificó a un punto del espacio proyectivo $\mathbb P^5(k)$. Y no degenerada cónicas, es decir, las cónicas, cuya matriz tiene determinante distinto de cero, puede ser identificado con una hipersuperficie en $\mathbb P^5(k)$.

Esta identificación es la clave de paso en la comprensión de la definición de espacio de moduli: un conjunto de objetos geométricos a menudo puede ser considerado como un objeto geométrico de la misma clase.

Ahora que usted tiene su moduli-gafas, te darás cuenta de que muchas cosas son de hecho los módulos de espacios: el conjunto de degenerada de cónicas en el plano proyectivo pasa a ser un cúbicos hipersuperficie; el conjunto de iso clases de vector de paquetes a través de un colector puede ser pensado como un espacio en su propio derecho; y en el mismo sentido, por ejemplo, hay casos cuando el conjunto de grado cero de la línea del complejo paquetes a través de una suave curva proyectiva no es sólo un grupo ( Picard grupo $Pic^0(\mathcal C)$ de la curva de $\cal C$), pero también un complejo de toro (este es un viejo teorema debido a Jacobi).

El formalismo de los módulos de problemas ofrece una manera de expresar esto en todos los casos: para formular una "módulos problema" usted necesita los siguientes gadgets.

1. Una clase de objetos geométricos (si esto no es doloroso, piense en ello como una categoría $\cal A$ de los espacios-colectores, los paquetes, la Mentira grupos,...-)
2. Una regla que asigna a cada espacio de $S$ $S$- paramétrico de la familia de los objetos, es decir, un paquete de $\cal A$-objetos. En otras palabras, se quiere dar una función de $\rho\colon s\in S\mapsto F_s\in \cal A$: en el caso de que $\cal A=$colectores, cualquier espacio de $X$ da lugar a una estructura de este tipo, tomando como $\rho$ una regla que asigna a cada $s\in S$ un paquete de $F_s\to X$$X$.
3. La asignación de $\rho=\rho_S$ tiene que ser functorial y contravariante en $S$, es decir, cualquier transformación de $S\to T$ debe inducir una de morfismos entre el paquete de $F'$ $T$- objetos paramétricos y el bulto $F$ $S$- paramétrico de objeto; en el caso de paquetes de más de un colector, esto es dado por el pull-back de la operación.

Paquete todo esto en una sola, ingenioso solicitud: nos gustaría tener un functor contravariante ${\cal A}\to Set$ que envía un objeto de $S$ para el conjunto de todos los $S$-objetos paramétricos $F_*=\{F_s\}_s$$\cal A$: la comprensión de este functor es tu módulos problema.

Este es el lugar donde un paso clave para la solución de sus módulos problema entra en juego: denotar este functor como $\Phi$ y supongamos que se puede encontrar un espacio de $M\in\cal A$ tal que $$\Phi(S)\cong {\rm Map}(S,M);$$ this request is not so absurd, since for example you can impose $M=Ob(\cal A)$ endowed with a suitable topology, and define a map of sets $F_*\mapsto (s\mapsto F_s)$. This map is natural in $S$, so that if $M$ exists, then it is unique up to a unique isomorphism in $\cal$. In a more categorical jargon, the functor $\Phi$ is represented by the space $M$, que se llama el (fina) espacio de moduli de sus módulos problema.

El problema es que los módulos de los problemas rara vez son resolubles (si todos ellos se fueron, la Geometría Algebraica sería mucho más fácil; es hasta usted para decidir si esta es una buena cosa)! En la mayoría de los casos de interés no del espacio de moduli existe, en el buen sentido. Para solucionar este problema, es necesario definir una gruesa noción de solución para cada uno de los módulos problema, pero esto podría llegar a ser demasiado técnico, y creo que he sido demasiado detallado para una sola respuesta.

En su lugar me gustaría tratar de resumir: a menudo en la geometría que tienen que lidiar con las familias de los espacios que puede ser convertido en otro espacio, llamado el espacio de moduli de la familia: cada punto en el espacio de moduli corresponde a un espacio en su propio derecho. La geometría del espacio de moduli te dice cosas acerca de la geometría de los espacios y puntos. Esto es precisamente lo que he leído cuando veo

el espacio de la vacua de la teoría cuántica de campos es un colector (o orbifold), que generalmente se llama el múltiple de vacío. Este colector es a menudo llamado el espacio de moduli de vacua, o simplemente el espacio de moduli, para abreviar.