Expectativa del cociente de sumas de IID Variables al azar (hoja de trabajo de la Universidad de Cambridge)

Question

Me estoy preparando para una entrevista que se requiere un decente conocimientos básicos de probabilidad (al menos para obtener a través de la entrevista en sí). Estoy trabajando a través de la hoja debajo de mis días de estudiante como de la revisión. Es todo bastante sencillo, pero estoy completamente confundido en la pregunta 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Cualquier ayuda se agradece.

Edit: la pregunta es:

Supongamos que $X_1, X_2, ... $ son independientes idénticamente distribuidas al azar positivo variables de con $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$. Deje $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Mostrar que $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ al $m<=n$, e $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ al $m>=n$.

De hecho, en el proceso de escribir esto, me has solucionado la segunda parte.

Para $m>=n$, $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n)) $

y el numerador y el denominador de la ratio de arriba son claramente independientes, así:

$ = 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

y obtenemos el resultado deseado.

Todavía estoy atascado en la primera parte, sin embargo.

Answer 1

Gracias a whuber por la pista para la primera parte.

Considerar $nS_m/S_n$ para el caso $m<=n$

Tenemos $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

y por la propiedad iid, esto es igual a:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Por lo tanto $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

Answer 2

Manchado para agregar $n$ copias idénticas de $S_m/S_n$ es muy inteligente! Pero algunos de nosotros no son tan inteligentes, por lo que es agradable ser capaz de "posponer" la Gran Idea para una etapa en la que es más que obvio qué hacer. Sin saber por dónde empezar, no parecen ser una serie de pistas que la simetría podría ser realmente importante (además es simétrica y tenemos algunas sumatorias, y iid las variables tienen la misma expectativa de lo mejor que se puede intercambiar todo o cambiado de nombre en formas útiles). De hecho, el "duro" poco de esta pregunta es cómo lidiar con la división de la operación que no es simétrica. ¿Cómo podemos aprovechar la simetría de la suma? De la linealidad de la expectativa que tenemos:

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Pero, a continuación, en la simetría motivos, dado que el $X_i$ son iid y $m \le n$, todos los términos en el lado derecho son los mismos! Por qué? Cambiar las etiquetas de $X_i$$X_j$$i, j \le n$. Dos términos en el denominador de la posición del interruptor, pero después de la reordenación todavía sumas a $S_n$, mientras que el numerador cambios de$X_i$$X_j$. Por lo $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$. Vamos a escribir $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ y desde allí se $m$ estos términos tenemos $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$.

Parece como si $k=1/n$ que se iba a producir el resultado correcto. Pero, ¿cómo demostrarlo? Sabemos

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Es sólo en esta etapa me di cuenta de que debo añadir estos juntos, para obtener

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Lo bueno de este método es que se conserva la unidad de las dos partes de la pregunta. La razón por la simetría se rompe, requiriendo el ajuste al $m>n$, es que los términos en el lado derecho después de aplicar la linealidad de la expectativa serán de dos tipos, dependiendo de si el $X_i$ en el numerador se encuentra en la suma en el denominador. (Como antes, puedo cambiar las etiquetas de $X_i$ $X_j$ si ambos aparecen en el denominador como este sólo reordena la suma de $S_n$, o si no ¿como esta claramente sale de la suma no cambia, pero si uno hace y el otro no, entonces uno de los términos en el denominador se cambia y ya no sumas a $S_n$.) Para $i \le n$ tenemos $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ $i>n$ tenemos $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$, dicen. Ya tenemos $n$ de los primeros términos, y $m-n$ de este último,

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

A continuación, encontrando $r$ es sencillo de usar independencia de $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$: $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Por lo que el mismo "truco" funciona para ambas partes, no sólo implica la gestión de los dos casos si $m>n$. Sospecho que esta es la razón por la que las dos partes de la pregunta se da en este orden.