Comprender la solución de $\int\left(1-x^{p}\right)^{\frac{n-1}{p}}\log\left(1-x^{p}\right)dx$

Question

Me gustaría resolver la integral

$$\int\left(1-x^{p}\right)^{\frac{n-1}{p}}\log\left(1-x^{p}\right)dx.$$

Mi problema es que me llegó a una solución a través de wolfram alpha, pero me gustaría entender cómo se llega allí por la mano.

Lo que hice es usar la sustitución de $x=\left(1-\exp(z)\right)^{\frac{1}{p}}$. Este rendimientos $$-\frac{1}{p}\int\left(1-\exp(z)\right)^{\frac{1}{p}-1}\exp\left(\frac{n-1+p}{p}z\right)zdz$$ para que wolfram alpha rendimientos de la integral

\begin{align} &\frac{\exp\left(z\frac{(n+p-1)}{p}\right)}{\left(n+p-1\right)^{2}}p\,_{3}F_{2}\left(1-\frac{1}{p},\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+1,\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+1;\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+2,\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+2;\exp(z)\right)\\&-z\frac{\exp\left(z\frac{(n+p-1)}{p}\right)}{\left(n+p-1\right)}\,_{2}F_{1}\left(\frac{p-1}{p},\frac{n+p-1}{p};\frac{n+2p-1}{p};\exp z\right). \end{align}

Realmente me gustaría entender cómo se llegó a la función hipergeométrica generalizada en la solución, porque creo que sería útil para detectar en un integral (como el manchado de las posibles soluciones en términos de una función gamma o beta de la función en las integrales).

¿Alguien tiene una idea de cómo se llegó a la solución?

Answer 1

Se hizo una sustitución de $u=1-x^p$, la transformación de la integral como $$ \int \left(1-x^p\right)^{(n-1)/p} \log\left(1-x^p\right) \mathrm{d} x = - \frac{1}{p} \int \left(1-u\right)^u^b \log\left(u\right) \mathrm{d} u $$ donde$a = \frac{1}{p}-1$$b=\frac{n-1}{p}$. Con el fin de integrar esto vamos a tomar ventaja de la siguiente diferenciación de la propiedad de la función hipergeométrica de Gauss: $$ \left( \frac{1}{\alpha_1} z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} + 1 \right) {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} \alpha_1 & \alpha_2 \cr \beta&- \end{array} \right| z \right) = {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} \alpha_1 +1 & \alpha_2 \cr \beta& - \end{array} \right| z \right) $$ La elección de $\beta=\alpha_1 + 1$ tenemos $$ \left( \frac{1}{\alpha_1} z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} + 1 \right) {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} \alpha_1 & \alpha_2 \cr &\alpha_1+1& \end{array} \right| z \right) = {}_1 F_0\left( \left. \begin{array}{c} \alpha_2 \\ - \end{array} \right| z \right) = \left(1-z\right)^{-\alpha_2} \etiqueta{1} $$ Ahora, el uso de $$\left( \frac{1}{\alpha_1} z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} + 1 \right) f(z) = \frac{1}{\alpha_1} z^{1-\alpha_1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \left( z^{\alpha_1} f(z) \right) \etiqueta{2} $$ La combinación de la nca. $(1)$ $(2)$ y la elección de $\alpha_2 = -a$ $\alpha_1 = b +1$ llegamos a $$ \int \left(1-u\right)^u^b \mathrm{d}u = \frac{u^{b+1}}{b+1} {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} -a & b+1 \cr &b+2& \end{array} \right| u \right) \etiqueta{3} $$ Ahora podemos integrar por partes: $$ \begin{eqnarray} \int \left(1-u\right)^a u^b \log(u) \mathrm{d}u &=& \frac{u^{b+1}}{b+1} \log\left(u \right) \cdot {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} -a & b+1 \cr &b+2& \end{array} \right| u \right) \\ && - \frac{1}{b+1} \int u^b \cdot {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} -a & b+1 \cr &b+2& \end{array} \right| u \right) \mathrm{d}u \end{eqnarray} $$ La última integral es integrado en una manera similar, mediante la diferenciación de las propiedades de la función hipergeométrica generalizada: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \left( z^{\alpha_1} \cdot {}_3 F_2\left( \left. \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \cr \beta_1& \beta_2 & \end{array} \right| z \right) \right) = \alpha_1 z^{\alpha_1-1} \cdot {}_3 F_2\left( \left. \begin{array}{ccc} \alpha_1+1 & \alpha_2 & \alpha_3 \cr \beta_1& \beta_2 & \end{array} \right| z \right) $$ tenemos $$\begin{eqnarray} \int \left(1-u\right)^a u^b \log(u) \, \mathrm{d} u &=& \frac{u^{b+1}}{b+1} \log\left(u \right) \cdot {}_2 F_1\left( \left. \begin{array}{cc} -a & b+1 \cr &b+2& \end{array} \right| u \right) \\ && - \frac{u^{b+1}}{(b+1)^2} \cdot {}_3 F_2\left( \left. \begin{array}{ccc} -a & b+1 & b+1 \cr b+2& b+2 & \end{array} \right| u \right) \end{eqnarray} \etiqueta{4} $$