Me gustaría resolver la integral
$$\int\left(1-x^{p}\right)^{\frac{n-1}{p}}\log\left(1-x^{p}\right)dx.$$
Mi problema es que me llegó a una solución a través de wolfram alpha, pero me gustaría entender cómo se llega allí por la mano.
Lo que hice es usar la sustitución de $x=\left(1-\exp(z)\right)^{\frac{1}{p}}$. Este rendimientos $$-\frac{1}{p}\int\left(1-\exp(z)\right)^{\frac{1}{p}-1}\exp\left(\frac{n-1+p}{p}z\right)zdz$$ para que wolfram alpha rendimientos de la integral
\begin{align} &\frac{\exp\left(z\frac{(n+p-1)}{p}\right)}{\left(n+p-1\right)^{2}}p\,_{3}F_{2}\left(1-\frac{1}{p},\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+1,\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+1;\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+2,\frac{n}{p}-\frac{1}{p}+2;\exp(z)\right)\\&-z\frac{\exp\left(z\frac{(n+p-1)}{p}\right)}{\left(n+p-1\right)}\,_{2}F_{1}\left(\frac{p-1}{p},\frac{n+p-1}{p};\frac{n+2p-1}{p};\exp z\right). \end{align}
Realmente me gustaría entender cómo se llegó a la función hipergeométrica generalizada en la solución, porque creo que sería útil para detectar en un integral (como el manchado de las posibles soluciones en términos de una función gamma o beta de la función en las integrales).
¿Alguien tiene una idea de cómo se llegó a la solución?