¿Por qué los exponentes negativos trabajo de la manera que lo hacen?

Question

¿Por qué es un valor con un exponente negativo igual al inverso multiplicativo, pero con un exponente positivo?

$$a^{-b} = \frac{1}{a^b}$$

Answer 1

Si usted sabe que $$x^y \cdot x^z = x^{y+z} \tag{1}$$ and that $$x^0 = 1 \tag{2}$$ entonces $$\begin{align} 1 &= 1 \\ a^0 &= 1 \\ a^{b - b} &= 1\\ a^{b} \cdot a^{-b} &= 1 \\ a^{-b} &= \dfrac{1}{a^b}\end{align}$$

Answer 2

Al $m$ $n$ son enteros, tenemos la importante ley que $$x^m\cdot x^n =x^{m+n}$$

La razón de esto es fácil de ver: $x^3$$x\cdot x \cdot x$, e $x^2$$x\cdot x$, por lo que $$\begin{align}x^3 \cdot x^2 &= (x\cdot x \cdot x)\cdot(x\cdot x)\\ &=x\cdot x \cdot x\cdot x \cdot x \\& = x^5 \end{align}$$

Nos gustaría de esta ley, para continuar manteniendo a la hora de definir $x^\alpha$ negativos $\alpha$, a menos que haya una buena razón por la que no debería. Si realmente queremos que continúe presionando para exponentes negativos, entonces lo que nosotros decidimos que $x^{-1}$ debe decir, debe obedecer a la misma ley: $$x^{-1}\cdot x^{2} = x^{-1+2} = x^1 = x$$

y por lo $x^{-1} = \frac1x$ es la única opción.

Del mismo modo, lo que debe $x^{-3}$ significa? Si queremos que el derecho de seguir celebrando, necesitamos $$x^{-3}\cdot x^{3} = x^{-3+3} = x^0 = 1$$ and thus the only consistent choice is $x^{-3} = \frac1{x^3}$.

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Pero hay más que eso. Más desarrollos matemáticos, que no la han visto aún, confirman estas opciones. Por ejemplo, una muestra en el análisis que a medida que se añade más y más términos de la suma infinita $$1 + x + \frac{x^2}2 + \frac{x^3}6 + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ the sum more and more closely approaches the value $e^x$, where $e$ is a certain important constant, approximately $2.71828$. One can easily check numerically that this holds for various integer values of $x$. For example, when $x=1$, and taking only the first five terms, we get $$1 + 1 + \frac12 + \frac16 + \frac1{24}$$

que ya es $2.708$, muy cerca de $e^1$, y el resto de términos de la diferencia. Uno puede calcular el $e^2$ por este método y también por simple multiplicación de $2.71828\cdot2.71828$ y obtener la misma respuesta.

Si pones $x=-1$ en esta fórmula, se obtiene $$e^{-1} \stackrel?= 1 -1 +\frac12 - \frac16 + \frac1{24}\cdots$$ and adding up just the first few terms one gets $0.375$, which is already pretty close to $\frac1e \aprox 0.368$.

Si no obra de esta manera, se podría sospechar que algo estaba mal en alguna parte. Y, de hecho, ha ocurrido que los matemáticos han tratado de definir algo de una manera y, a continuación, la evolución posterior reveló que la definición no fue la de la derecha, y tuvo que ser revisado. Aquí, sin embargo, eso no sucedió.

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(Mucho de este se copia de mi respuesta a una pregunta similar anterior.)

Answer 3

(El OP no parece entender lo que es un exponente negativo significa. Suponiendo que esto no era en realidad la pregunta para hacer la tarea. Algo así debería haber sido cubiertos por su maestro.)

Sólo sigue el patrón. Para los no-cero $x$, tenemos

$x^3=x\cdot x \cdot x$

$x^2=x\cdot x$

$x^1=x$

$x^0=1$

Se siguen dividiendo por $x$ cada vez, como en el anterior...

$x^{-1}=1\div x =\frac{1}{x}$

$x^{-2}=\frac{1}{x}\div x =\frac{1}{x^2}$

$x^{-3}=\frac{1}{x^2}\div x =\frac{1}{x^3}$

y así sucesivamente.

Answer 4

En un sentido vago, cada número entero incremento de la exponente en $a^b$ significa "multiplicar por un" donde $a$ es la base del exponente. Por lo $2^2$ significa "multiplicar por dos, y multiplicar por dos de nuevo" para conseguir "multiplicar por $2*2 = 4$".

Así que imagine que usted tiene $2^{3-1}=2^2=4$. Lo que hace el $-1$ significa que en esa expresión? Originalmente había "multiplicar por 2, luego se multiplica por 2, y luego multiplicar por 2" o "multiplicar por dos, tres veces", pero también fue la $-1$, que de alguna manera se deshizo de uno de esos multiplicar por 2. La función aritmética que es la inversa de la multiplicación es la división. Intente tomar un número y se multiplica por 2, luego divida por 2. Encontrará la respuesta original.

Por lo tanto, los exponentes negativos son la división por la base, en lugar de la multiplicación.

Answer 5

Esto es realmente cómo debemos definir los exponentes negativos, por lo que la pregunta es: ¿por qué es esta una definición razonable? Vamos a suponer por el momento que sólo sabíamos acerca de los exponentes positivos.

Si $n$ es un entero positivo, ¿qué $x^n$ significa? Es el producto de la $x$ sí $n$ veces:

$$x^n = \overbrace{x\cdot x\cdots x}^n$$

Así que si $m$ es otro entero positivo, tenemos

$$x^{m+n} = \overbrace{x\cdot x\cdots x}^{m+n}$$ $$ = (\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{m})(\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n})$$ $$ = x^m\cdot x^n$$

Ahora lo que debe $x^n$ decir al $n$ es cero o negativo? Sería bueno para la regla de $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$ a ser cierto incluso cuando se $m$ o $n$ no es positivo, así que vamos a ver lo que la regla nos dice.

Tendríamos que tener $$x^{0+1} = x^0\cdot x^1$$, y así $$x^1 = x^0\cdot x^1$$ $$x = x^0\cdot x.$$ If $x\neq 0$ then the only way this can be true is if $x^0=1$. So we'll define $x^0=1$ whenever $x\neq 0$, y continuar desde allí.

Ahora para exponentes negativos. ¿Cómo podemos definir razonablemente $x^{-n}$ al $n$ es un número entero positivo (y $x\neq 0$)? Va por nuestra regla $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$, tendríamos que tener

$$x^{-n+n} = x^{-n}\cdot x^n$$ $$x^0 = x^{-n}\cdot x^n$$ $$1 = x^{-n}\cdot x^n$$

Dividir ambos lados por $x^n$, y vemos que debemos tener $$\frac{1}{x^n} = x^{-n}.$$

Así que esta es la forma en que debemos definir $x^{-n}$.