¿El vacío ocupa Lebesgue mensurable?

Question

Tengo una pregunta bastante tonta. ¿Es medible el conjunto vacío? decir con respecto a la medida estándar.

Reconozco totalmente las explicaciones intuitivas. Gracias,

Answer 1

Medidas se definen en $\sigma$-álgebras (contiene los conjuntos medibles) y cualquier $\sigma$-álgebra contiene al conjunto vacío por definición.

Answer 2

La intuición

Dado un conjunto $X$, para evitar paradojas como la de Banach Tarski paradoja , es necesario definir que los subconjuntos medibles (y, como consecuencia, cuáles no) y, a continuación, defina una función $\mu$, llamó a una medida, a partir de este conjunto $\Sigma$ de los subconjuntos de a $X$ a los no-negativos reales. ¿Cómo elegir?

Usted desea que la medida espejo de nuestra intuición de volumen, o la longitud, la generalización a dimensiones superiores y/o a la no-métricas de los espacios. En particular, desea que el conjunto total $X$ tener una medida, por lo que el $X \in \Sigma$. Otra propiedad que desea es que si un subconjunto $A\in \Sigma$ tiene una medida, usted desea que su se complementan $X/A$ a tienen medida $\mu(X)-\mu(A)$. Estas dos propiedades son necesarias (pero no suficientes) para $(X,\Sigma,\mu)$ a ser una medida de espacio, es decir, como espacio que reúne nuestra intuición de volumen sin inconsistencias lógicas.

Respuesta

Para cualquier medir el espacio $(X,\Sigma,\mu)$, el conjunto vacío $X / X \equiv \emptyset$ tiene que ser un conjunto medible, y su medida es invariablemente $\mu(X)-\mu(X) = 0$.

Answer 3

Cualquier # de $\sigma$-álgebra contiene $\emptyset$ y para cualquier medida $\mu$ en $\sigma$-álgebra, $\mu(\emptyset) = 0$.