subespacio invariante de un espacio resistente

Question

Deje $T$ ser el círculo unidad y $H^1=\{f\in L^1(T): \int_0^{2\pi} f(e^{it})\chi_n(e^{it})dt=0 \text{ for } n>0\}$ donde $\chi_n(e^{it})=e^{int}$. Deje $M$ ser un subespacio cerrado de $H^1$. A continuación, $\chi_1 M\subset M$ si y sólo si $M=\phi H^1$ para algunas interior de la función $\phi$.

Podemos decir $\psi$ es un interior en función de si $\psi\in H^\infty$$|\psi|=1$.e.

Este es un problema de álgebra de Banach Técnicas para el Operador de la teoría de Ronald Douglas.

Yo era capaz de mostrar que si $M=\phi H^1$ para algunas interior de la función$\phi$$\chi_1M\subset M$. En el otro sentido, traté de ir a través de Beurling del teorema, pero me quedo atascado.

También he intentado escribir $M$ $M_1M_2$ donde $M_1$ $M_2$ son ambos subconjuntos de a$H^2$, pero que me llevó a ninguna parte.

Answer 1

Una idea: tal vez puede demostrar eso si $x_1M \subset M$ y $(x_1M \cap H^2) \subset (M\cap H^2)$ (+ restante un subespacio cerrado, que no tengo ni idea cómo mostrar). Una vez allí, se podría aplicar Thm de Beurling y sabes que $M \cap H^2$ es de la forma $\phi H^2$. Por densidad de $H^2$ como un subespacio de $H^1$, probablemente puede mostrar que el % de espacio $M$también es de la forma $\phi H^1$.