Determinante de la $A + \epsilon X$

Question

En el artículo de Wikipedia sobre el determinante, se afirma que

\det \left $$ (A + \epsilon X \right)-\det \left (un \right) = \left {\rm tr} ({\rm adj} \left (un \right) X \right) \epsilon + {\rm O} \left (\epsilon^2 \right) $$

donde $A, X \in {\mathbb R}^{n \times n}$.

¿Alguna sugerencia sobre cómo uno puede llegar a esto?

¡Gracias!

Answer 1

Ampliar la RHS como un polinomio de expansión, el tratamiento de las entradas de $A$ como constantes, y las entradas de $\epsilon X$ como variable.

Vemos que $\det(A)$ cancela con $\det(A)$, por lo que no hay término constante.

¿Cuál es el término lineal $\epsilon$? Para cada entrada de $\epsilon x_{i, j}$, tenemos que multiplicar con los no X términos (ya los ha $\epsilon$), la cual nos deja sólo con el cofactor de la matriz a (determinante de la matriz a con la fila i columna j eliminado), que es la entrada de $adj(A)_{j,i}$ (tenga en cuenta que el indicides se invirtió debido a que nos llevó a la transpuesta de la matriz). Por lo tanto, esta contribución es $\epsilon x_{i, j} adj(A)_{j,i}$. Queda por demostrar que la suma de los coeficientes de estos términos lineales de cada una de las $\epsilon x_{i, j}$ es, de hecho,$tr( adj(A) X)$. La explicación más sencilla sería la de comprobar que la multiplicación de la matriz de obras, y nos da lo que queremos:

$$ tr ( adj(A) X) = \sum_j \sum_i (adj(A)_{j, i} X_{i,j}). $$

¿Cuáles son el resto de los términos? Cada uno de ellos tiene $\epsilon ^k$ donde$k\geq 2$, así que podemos escribir como $O(\epsilon ^2) $.