¿Por qué es necesario el valor absoluto con la propiedad escala de fourier transforma?

Question

Entiendo cómo probar la propiedad escala de transformadas de Fourier, salvo el uso del valor absoluto:

Si transformo $f(at)$ luego me sale $F\{f(at)\}(w) = \int f(at) e^{-jwt} dt$ donde puedo sustituir $u = at$ y $du = a dt$ (y $\frac{du}{a} = dt$) que me da:

$ \int f(u) e^{-j\frac{w}{a}u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int f(u) e^{-j\frac{w}{a}u} du = \frac{1}{a} F \{f(u)\}(\frac{w}{a}) $

Pero, según varias referencias, debe ser $ \frac{1}{|a|} F \{f(u)\}(\frac{w}{a}) $ y no entiendo por qué o cómo consigue, necesidad de aquí el valor absoluto?

Answer 1

En primer lugar, permite convencernos de que $F\{f(-t)\}(\omega)=F\{f(t)\}(-\omega)$:

$$ F\{f(-t)\}(\omega)=\int_{t=-\infty}^{t=\infty} f(-t)e^{-j\omega t}dt\quad\estrellas $$ Set $u=-t$, lo $dt=-du$. También tenga en cuenta que cuando $t=-\infty,$ $u=\infty$ y cuando $t=\infty$, $u=-\infty$. Así,
$$ \estrella=-\int_{u=\infty}^{u=-\infty}f(u)e^{j\omega u}du\quad \estrellas\estrellas $$ recordemos que $$ -\int_{a}^bf(x)dx=\int_b^af(x)dx $$ que explica el paso de la integración de los límites. Por lo tanto $$ \estrellas\estrella=\int_{u=-\infty}^{u=\infty}f(u)e^{j\omega u}du $$ which is exactly $F\{f(t)\}(-\omega)$

Entonces, si $a<0$ podemos simplemente escribir $a=-\vert a\vert$, por lo que el $F\{f(at)\}=F\{f(-\vert a\vert t)\}(\omega)=F\{f(\vert a\vert t)\}(-\omega)=\frac{1}{\vert a\vert}F\{f(t)\}(\frac{-\omega}{\vert a\vert})=\frac{1}{\vert a\vert}F\{f(t)\}(\frac{\omega}{a})$

Answer 2

Pensar en el rango de la variable $t$ en la integral que da la transformación. ¿Cómo transformar las variables de evaluación de esta integral impropia bajo $t\to at$? ¿Puedes ver cómo esto depende del signo de $a$?