Dado un ejemplo de espacio métrico en el que cada esfera tiene dos centros

Question

Esta es una pregunta de Wilansky "Topología para el análisis", P.15 Prob. 103

Quizás estaba pensando demasiado en lo euclidiano, no se me ocurren otros "centros" de la esfera :(

Answer 1

Responderé bajo el supuesto de que se refiere a conjuntos $S_{\varepsilon}(x) = \{y: \, d(x,y) = \varepsilon\}$ como esferas, y $x$ como centro de la esfera.

En $\mathbb{Q}$ dado cualquier primo $p$ se puede definir el $p$ -Métrico $|x-y|_p$ para ser $p^{-n}$ , donde $n$ es el único número entero tal que $x-y = p^n \frac{a}{b}$ con $a,b$ enteros que son coprimos a $p$ . (Si $x=y$ Entonces, defina $|x-y|_p = 0$ .)

Esto resulta satisfacer la desigualdad ultramétrica $|x-y|_p \le \max\{|x|_p|, |y|_p\}$ y utilizando esto, se puede demostrar que, para cualquier $x \in \mathbb{Q}$ y $\varepsilon > 0$ , $S_{\varepsilon}(x) = S_{\varepsilon}(y)$ para cualquier $y$ tal que $|x-y|_p < \varepsilon$ En particular, hay muchos centros de cualquier esfera.

Answer 2

+1 por usar este libro. Es uno de mis favoritos.

A su pregunta. Piensa en $S^1$ en $\Bbb R^2$ . Entonces cada "esfera" es simplemente 2 puntos elegidos de $S^1$ . Esta "esfera" tiene dos centros. El punto que es circunferencialmente central a ambos puntos y el punto diametralmente opuesto a ese primer punto.

Piensa en los dos puntos dados en $S^1$ y cualquiera de esos "centros" dibujando una circunferencia secante centrada en ella y que corta a los dos puntos originales.

Answer 3

Como mencioné en mi comentario, las esferas $S^n$ proporcionan una familia de ejemplos. Una "esfera" en $S^{n}$ es una copia de $S^{n-1}$ . Si normalizamos la métrica de la "distancia del gran círculo" en $S^n$ tener $d(x,-x)=1$ y luego una esfera alrededor de $x$ de radio $r$ es también una esfera de radio $1-r$ alrededor del punto antipodal $-x$ .