Mostrando que el producto infinito $\prod{(1+\frac{i}{k})}$ aleja

Question

En Bak y Newman Análisis Complejo se preguntan para mostrar que el infinito producto $\prod_{k \ge 1}{(1+\frac{i}{k})}$ diverge (con $i$ la unidad imaginaria). Mi intuición es que no divergen a $0$, sino sólo que oscila de forma aleatoria alrededor del origen de grandes productos parciales. Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil probar esto. Si se me rompe en dos productos de $r$ $e^{i\theta}$ esto no ayuda, ya que $\theta \rightarrow 0$ bastante claro, y entonces no tengo el resultado de mi deseo de perpetua rotación. El $r$ plazo, $\prod_{k \ge 1}{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}$ no es muy informativo. Supongo que tengo dos preguntas: ¿es mi suposición que oscila tipo de forma aleatoria en $\infty$ incorrecta? Si es correcto, ¿cómo podría yo ir de mostrar que este es el comportamiento?

Answer 1

El producto se bifurca, pero su norma converge. Así que, de hecho, se mantiene "dar vueltas". A ver que su norma converge observar que $$1 \leq \left| 1 + \frac{i}{k} \right| = \sqrt{1 +\frac{1}{k^2}} \leq 1 + \frac{1}{2k^2}$$ and the product $$\prod_{k=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{2k^2} \right)$$ converges. However, for the argumen of $1 + \tfrac{i}{k}$ tenemos

$$\tan \arg \left(1 + \frac{i}{k}\right) = \frac{1}{k}$$

y por lo tanto

$$\arg \left(1 + \frac{i}{k}\right) \geq \frac{\pi}{4k}$$

para todos los $k \geq 1$. El argumento de un producto parcial es

$$\arg \prod_{k=1}^N \left( 1 +\frac{i}{k} \right) = \sum_{k=1}^N \arg \left( 1 +\frac{i}{k} \right) \geq \frac{\pi}{4} \sum_{k=1}^N \frac{1}{k}$$

y la última suma se bifurca.