Suma parcial de las filas de Pascal ' triángulo s

Question

Estoy interesado en encontrar

$$\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}, \quad m<n$$

que forman las filas del triángulo de Pascal. Seguramente $\sum\limits_{k=0}^n \binom{k}{m}$ utilizando la suma, pero el anterior implica funciones hipergeométrica y no sé cómo abordarlo.

EDIT: si es posible, por favor no lo solucionan, lo pocos consejos.

Answer 1

No hay realmente una forma cerrada de expresión para los parciales de sumas de fila del triángulo de Pascal. La expresión me imagino que usted está recibiendo, $$\sum_{k=0}^m \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{m+1} {}_2F_1(1,m+1-n;m+2;-1),$$ no es realmente una forma cerrada; es simplemente la suma original expresan de manera diferente. (Una de las respuestas a la MO cuestión mencionada por anon dice lo mismo.)

Así que, ¿por qué es esto?

(En lo que sigue, la versión original contenía una explicación parcial, como el OP simplemente quería sugerencias. Ahora que el OP ha completado la derivación para él/ella, estoy dando el argumento completo.)

Tenemos $$ \binom{n}{m+1} {}_2F_1(1,m+1-n;m+2;-1) = \binom{n}{m+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1^{\overline{k}} (m+1-n)^{\overline{k}} (-1)^k}{(m+2)^{\overline{k}} k!}$$ $$= \binom{n}{m+1} \left[ 1 - \frac{1(m+1-n)}{(m+2)1} + \frac{2!(m+1-n)(m+2-n)}{(m+2)(m+3)2!} \mp \cdots \right]$$ $$= \frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!} \left[ 1 + \frac{n-m-1}{m+2} + \frac{(n-m-1)(n-m-2)}{(m+2)(m+3)} + \cdots \right]$$ $$= \binom{n}{m+1} + \binom{n}{m+2} + \binom{n}{m+3} + \cdots $$ $$= \sum_{k=m+1}^n \binom{n}{k}.$$

Así $$\sum_{k=0}^m \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{m+1} {}_2F_1(1,m+1-n;m+2;-1)$$ es sólo una reescritura de la suma original (junto con el hecho de que $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} = 2^n$).

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Por el camino, en Concreto las Matemáticas pasa algún tiempo en la discusión de $\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}$. En la p. 165 dicen

"Seguramente si podemos evaluar la suma correspondiente con la alternancia de signos, debemos ser capaces de hacer esto. Pero no; no hay forma cerrada para la suma parcial de una fila del triángulo de Pascal."

A continuación, en la p. 228 discutir que la suma de nuevo, en el contexto de Gosper del algoritmo para encontrar parcial hipergeométrica sumas. Esto le da una explicación de por qué no hay ninguna forma cerrada, como Gosper del algoritmo encuentra una o demuestra que no existe.

"Si aplicamos el mismo método para encontrar el indefinido suma $\sum \binom{n}{k} \delta k,$ sin $(-1)^k$, todo va a ser casi el mismo, salvo que $q(k)$$n-k$; por lo tanto $Q(k) = n-2k$ tienen grado mayor que el de $R(k)=n$, y vamos a la conclusión de que la $d$ tiene el imposible de valor de $\deg(p) - \deg(Q) = -1$. (El polinomio $s(k)$ no han negativo grado, porque no puede ser cero.) Por lo tanto, la función de $\binom{n}{k}$ no es summable en hipergeométrica términos."

Sin embargo, el Ejercicio de 9.42 en la p. 492 pide a probar la fórmula asintótica $$\sum_{k \leq \alpha n} \binom{n}{k} = 2^{n H(\alpha) - \frac{1}{2} \log_2 n + O(1)},$$ donde$H(\alpha) = \alpha \log_2 \frac{1}{\alpha} + (1-\alpha) \log_2 (\frac{1}{1-\alpha})$$\alpha \leq \frac{1}{2}$.

Hay un esquema de la prueba de este resultado en la sección de respuestas, así que usted puede ver que, si quieres ver cómo lo consiguen. Véase también robjohn los comentarios de abajo.

Si $\alpha \geq \frac{1}{2}$, luego $$\sum_{k \leq \alpha n} \binom{n}{k} = 2^{n + O(1)},$$ since the sum is bounded above by $2^n$ and below by $2^{n-1}$.

(Los números de página son para la segunda edición de Hormigón Matemáticas.)