$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}$ Con residuos de computación

Question

Estoy corriendo en algún error en el cálculo de la suma. Desde $\dfrac{\sin n}{n}$ es incluso, estoy pensando en la función de $f(z)=\dfrac{\pi\sin z\cot\pi z}{z}$ y el contorno integral $$\oint_\gamma \frac{\pi\sin z\cot\pi z}{z}\,\mathrm{d}z$$ donde $\gamma$ es un cuadrado centrado en el origen de los alrededores de los polos y se extiende fuera de a $\infty$.

Así que tengo la impresión de que la integral debe ser $$0=\mathrm{Res}(f(z),0)+\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\mathrm{Res}(f(z),k)$$ donde todos los polos son simples. Desde $\dfrac{\sin n}{n}$ es incluso, el segundo término es el doble de la suma de los enteros positivos. En $z=0$, el residuo es $1$, así que me quedo con $$0=1+2\sum_{k\ge1}\mathrm{Res}(f(z),k)=1+2\sum_{k\ge1}\frac{\sin k}{k}$$ pero esto sugeriría que el valor de la suma es $-\dfrac{1}{2}$. Me voy por $\dfrac{\pi}{2}$, pero no sé de donde me salió mal. Me equivoco al suponer la integral desaparece?

Disculpas si este es un duplicado; a todas las preguntas que me he quedado con esta suma se acaba de pruebas para la convergencia, al no encontrar el valor exacto.

Answer 1

$f(z)$ no decae lo suficientemente rápido como para asegurarse de que la integral a lo largo de $\gamma$ va a cero, eso es todo.

Además de que,

$$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n} = \sum_{n\geq 1}\int_{0}^{+\infty}\sin(n)e^{-nx}\,dx =\text{Im}\int_{0}^{+\infty}\left(-1+\sum_{n\geq 0}e^{in}\cdot e^{-nx}\right)\,dx,$$ con una cierta cantidad de atención en la comprobación de que se nos permite intercambiar $\sum$$\int$, se tiene:

$$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n} = \text{Im}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^i}{e^x-e^i}\,dx =\text{Im}\int_{1}^{+\infty}\frac{e^i}{z(z-e^i)}\,dz$$ de los cuales: $$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n} = -\text{Im}\log(1-e^i) = \color{red}{\frac{\pi-1}{2}}.$$

Otra prueba interesante viene a partir de análisis de Fourier. Usted puede comprobar que $$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(nx)}{n}$$ es la serie de Fourier de la onda de diente de sierra, un $2\pi$-función periódica que es igual a $\frac{\pi-x}{2}$$(0,2\pi)$.

Una vez que usted demostrar que la serie de Fourier pointwise converge a la función en $x=1$, se obtiene otra prueba de $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n)}{n}=\frac{\pi-1}{2}$. Otra posibilidad es el límite de la forma de Euler-MacLaurin suma fórmula.

Answer 2

Si desea que el residuo de alguna manera, podemos utilizar el hecho de que el Mellin transformar la identidad para armónica sumas con función de base $g\left(x\right)$ es $$\mathfrak{M}\left(\sum_{n\geq1}\lambda_{n}g\left(\mu_{n}x\right),s\right)=\sum_{n\geq1}\frac{\lambda_{n}}{\mu_{n}^{s}}\mathfrak{M}\left(g\left(x\right),s\right)$$ so if we consider the sum $$\sum_{n\geq1}\frac{\sin\left(nx\right)}{nx}$$ we have $$\lambda_{n}=1,\,\mu_{n}=n,\ g\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{x}$$ and so we observe that $$\mathfrak{M}\left(g\left(x\right),s\right)=\Gamma\left(s-1\right)\sin\left(\frac{1}{2}\pi\left(s-1\right)\right)$$ and $$\sum_{n\geq1}\frac{\lambda_{n}}{\mu_{n}^{s}}=\zeta\left(s\right)$$ so $$\sum_{n\geq1}\frac{\sin\left(nx\right)}{nx}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\Gamma\left(s-1\right)\sin\left(\frac{1}{2}\pi\left(s-1\right)\right)\zeta\left(s\right)x^{-s}ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}P\left(s\right)x^{-s}ds$$ now observe that $Q\left(s\right)$ has poles only at $s=0,1$, due to the zeros of the sine and the zeta function, then by residue theorem $$\sum_{n\geq1}\frac{\sin\left(nx\right)}{nx}=\textrm{Res}_{s=1}\left(Q\left(s\right)x^{-s}\right)+\textrm{Res}_{s=0}\left(Q\left(s\right)x^{-s}\right)=\frac{\pi}{2x}-\frac{1}{2}$$ so finally take $x=1$.