En la Wikipedia aquí, se afirma lo siguiente.
El grupo unitario es la $3$ doble intersección de las ortogonales, simpléctica y complejos grupos: $$\text{U}(n) = \text{O}(2n) \cap \text{Sp}(2n, \mathbb{R}) \cap \text{GL}(n, \mathbb{C}).$ $
¿Cuál es la forma más rápida de ver esto?
El grupo unitario es el grupo de todos los $G \in GL_n(\mathbb{C})$ preservar el estándar producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$. El estándar producto interno en $\mathbb{C}^n$ tiene una parte verdadera e imaginaria y es conservada iff su real y partes imaginarias se conservan. Después de dividirse cada coordenada de $\mathbb{C}^n$ en sus partes real e imaginarias, puede calcular que la parte real es el estándar producto interno en $\mathbb{R}^{2n}$, y la parte imaginaria es $i$ veces la forma simpléctica estándar en $\mathbb{R}^{2n}$ (tal vez hasta una señal o algo).
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