Dejemos que $\rm\:w = 1+\sqrt{3}.\:$ $\rm\:w^n$ tiene $\sqrt{3}\:$ coeficiente $\rm\,b_n$ Satisfaciendo a $\rm\:b_{n+2} = \color{#C00}2\:b_{n+1} + \color{#0A0}2\:b_n\:$ desde $\rm\,w\,$ es una raíz de $\rm\:x^2 = \color{#C00}2\,x + \color{#0A0}2.\:$ Por lo tanto, $\rm\,\ b_n = 0,\ 1,\ 2,\ 6,\ 16,\ 44,\ 120,\ 328,\,\ldots$ así que $328$ es la respuesta. Detalles a continuación.
Dejemos que $\rm\: w = 1\!+\!\sqrt{3},\:$ con el conjugado $\rm\: \bar w = 1\!-\!\sqrt{3}.\:$ Para $\rm\:v = a\!+\!b\,\sqrt{3}\:$ obtenemos su $\sqrt{3}$ coeficiente por $$\rm\: b\ =\ \frac{v - \bar v}{2\sqrt{3}}\ =\ \frac{v - \bar v}{w -\bar w}\:$$
Para $\rm\:v = w^n\:$ estos coeficientes $\rm\:b_n\:$ satisfacen una recurrencia basada en el polinomio mínimo de $\rm\:w\:$
$$\rm w^{n+2} - \bar w^{n+2}\, = \ (\color{#C00}{w + \bar w})\ (w^{n+1} - \bar w^{n+1})\ \color{#0A0}{-\ w\bar w}\ (w^{n} - \bar w^{n})$$
$\rm Dividing\ by\, \ \ w-\bar w\, \ \ yields \ \ \ b_{n+2}\ =\ \color{#C00}2\ b_{n+1} + \color{#0A0}2\ b_n,\ \ \ b_0 = 0,\ b_1 = 1\ \ for\ \ b_n = \dfrac{w^n - \bar w^n}{w - \bar w}$
Ver esta respuesta para una simple generalización teórica de operadores de lo anterior.
Nota: $\ $ Secuencias de la forma $\rm\:\dfrac{w^n - \bar w^n}{w - \bar w}\:$ para $\rm\:w\:$ un número algebraico cuadrático se conocen como Secuencias de Lucas. Se conocen muchos casos especiales, como las secuencias de Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal y Mersenne. Estas secuencias surgen al estudiar la aritmética de los campos numéricos cuadráticos. La recurrencia anterior no es más que una de las muchas identidades conocidas para estas secuencias y otras relacionadas. Véase cualquiera de los libros "Number Records" de Paulo Ribenboim para conocer muchas de sus propiedades.
Obsérvese que si se expresa la recurrencia en forma de sistema (matriz), se obtiene un tiempo lineal para calcular los coeficientes, elevando repetidamente al cuadrado las matrices, al igual que el conocido caso Fibonacci utilizando su fórmula de adición.
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Por coeficiente, ¿se refiere al 328 en: wolframalpha.com/input/ ?