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Encuentre el coeficiente de $\sqrt{3}$ en $(1+\sqrt{3})^7$ ?

Sólo quiero preguntarle si mi solución es correcta.

Este es el problema,

Utilizando el Teorema del Binomio, encuentre el coeficiente de $\sqrt{3}$ en $(1+\sqrt{3})^7$ .

Solución: El teorema del binomio es, $$\sum_{r=0}^n{{n}\choose{r}}x^{n-r}y^r=(x+y)^n,$$ Por lo tanto, dejando que x = 1 e y = $\sqrt{3}$ entonces tenemos $$\sum_{r=0}^7{{7}\choose{r}}1^{7-r}{\sqrt{3}}^r=(1+\sqrt{3})^7,$$ Y para tomar el coeficiente de $\sqrt{3}$ tenemos que fijar r = 1. Es decir, $${{7}\choose{1}}\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^7$$ Por lo tanto, el coeficiente de $\sqrt{3}$ es ${{7}\choose{1}}=7\qquad \blacksquare$

¿Es eso correcto?

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Por coeficiente, ¿se refiere al 328 en: wolframalpha.com/input/ ?

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Oli Puntos 89

Una pista: También se obtiene $\sqrt{3}$ términos de $r=3$ , $5$ y $7$ .

Observación: Lo siguiente utiliza en cierto modo el Teorema del Binomio, pero no es la solución prevista. Imagina ampliando $(1+\sqrt{3})^7$ . Ahora imagina que se expande $(1-\sqrt{3})^7$ . Mira $$(1+\sqrt{3})^7-(1-\sqrt{3})^7.$$ Si se piensa en las expansiones, los términos que implican potencias pares de $\sqrt{3}$ cancelar, y las que implican poderes Impares se duplican. Se deduce que nuestro coeficiente, que es un número entero, es igual a $$\frac{(1+\sqrt{3})^7-(1-\sqrt{3})^7}{2\sqrt{3}}.$$ Divide en la calculadora. Para la precisión de la calculadora, obtenemos $328$ . Como la respuesta es un número entero, debe ser $328$ .

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Vale, déjame comprobarlo.

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Desde $|1-\sqrt{3}|<1$ sus poderes se vuelven rápidamente irrelevantes y entonces la respuesta es $(1+\sqrt{3})^7/(2\sqrt{3})$ redondeado al número entero más cercano.

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Michael Hardy Puntos 128804

Usted no quiere sólo el $r=1$ término. Si $r=3$ se obtiene $$\sqrt{3}^3=\underbrace{\sqrt{3}\sqrt{3}}\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$ y de forma similar para los otros términos con exponentes Impares.

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Vaya, muchas gracias... Lo había olvidado...

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David HAust Puntos 2696

Dejemos que $\rm\:w = 1+\sqrt{3}.\:$ $\rm\:w^n$ tiene $\sqrt{3}\:$ coeficiente $\rm\,b_n$ Satisfaciendo a $\rm\:b_{n+2} = \color{#C00}2\:b_{n+1} + \color{#0A0}2\:b_n\:$ desde $\rm\,w\,$ es una raíz de $\rm\:x^2 = \color{#C00}2\,x + \color{#0A0}2.\:$ Por lo tanto, $\rm\,\ b_n = 0,\ 1,\ 2,\ 6,\ 16,\ 44,\ 120,\ 328,\,\ldots$ así que $328$ es la respuesta. Detalles a continuación.


Dejemos que $\rm\: w = 1\!+\!\sqrt{3},\:$ con el conjugado $\rm\: \bar w = 1\!-\!\sqrt{3}.\:$ Para $\rm\:v = a\!+\!b\,\sqrt{3}\:$ obtenemos su $\sqrt{3}$ coeficiente por $$\rm\: b\ =\ \frac{v - \bar v}{2\sqrt{3}}\ =\ \frac{v - \bar v}{w -\bar w}\:$$

Para $\rm\:v = w^n\:$ estos coeficientes $\rm\:b_n\:$ satisfacen una recurrencia basada en el polinomio mínimo de $\rm\:w\:$

$$\rm w^{n+2} - \bar w^{n+2}\, = \ (\color{#C00}{w + \bar w})\ (w^{n+1} - \bar w^{n+1})\ \color{#0A0}{-\ w\bar w}\ (w^{n} - \bar w^{n})$$

$\rm Dividing\ by\, \ \ w-\bar w\, \ \ yields \ \ \ b_{n+2}\ =\ \color{#C00}2\ b_{n+1} + \color{#0A0}2\ b_n,\ \ \ b_0 = 0,\ b_1 = 1\ \ for\ \ b_n = \dfrac{w^n - \bar w^n}{w - \bar w}$

Ver esta respuesta para una simple generalización teórica de operadores de lo anterior.

Nota: $\ $ Secuencias de la forma $\rm\:\dfrac{w^n - \bar w^n}{w - \bar w}\:$ para $\rm\:w\:$ un número algebraico cuadrático se conocen como Secuencias de Lucas. Se conocen muchos casos especiales, como las secuencias de Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal y Mersenne. Estas secuencias surgen al estudiar la aritmética de los campos numéricos cuadráticos. La recurrencia anterior no es más que una de las muchas identidades conocidas para estas secuencias y otras relacionadas. Véase cualquiera de los libros "Number Records" de Paulo Ribenboim para conocer muchas de sus propiedades.

Obsérvese que si se expresa la recurrencia en forma de sistema (matriz), se obtiene un tiempo lineal para calcular los coeficientes, elevando repetidamente al cuadrado las matrices, al igual que el conocido caso Fibonacci utilizando su fórmula de adición.

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¿Podrías ampliar un poco más esto, Bill?

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@Peter Ver arriba.

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Si puedes pasarte por el chat me gustaría enseñarte algo. Se trata de esto.

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stormdrain Puntos 470

Esto no es correcto. Hay que tener en cuenta todos los términos en la expansión del producto donde $\sqrt{3}$ se eleva a una potencia impar. Por tanto, halle la suma de los términos donde $r$ es impar para encontrar su coeficiente.

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Madrit Zhaku Puntos 3898

Aplicar la fórmula e Newton para $n=7$ . Entonces $(1+\sqrt 3)^7=568+328\sqrt 3$ . Definitivamente el coeficiente de $\sqrt 3$ es $328$ .

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