raíces de un polinomio cúbico

Question

Considere un polinomio cúbico de la forma

$$f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$

donde los coeficientes son reales distintos de cero. Condiciones para que esta ecuación tiene tres raíces reales simples son bien sabidas. ¿Qué condiciones de garantizar que ninguna de estas raíces es positiva? ¿En otras palabras, lo que las restricciones sobre los parámetros garantizaría que el polinomio no tiene no tiene ninguna raíz positiva? Por favor proporcionar referencias también, si es posible.

Answer 1

Uso de Routh-Hurwitz:

• Si $a_0, a_1, a_2, a_3 > 0$, se llega a la condición $a_2 a_1 > a_3 a_0$.
• Si $a_0, a_1, a_2, a_3 < 0$, también llegar a la condición $a_2 a_1 > a_3 a_0$.
• Si $a_3$ y $a_2$ tienen signos diferentes, entonces el polinomio tiene raíces positivas.

Answer 2

Usted puede hacer esto de esta manera.

Si $a_3>0$ $f(x)$ es creciente, excepto para la región entre sus dos puntos de inflexión. Para tener ninguno de los tres ceros positivos requiere que $f(0)\geq 0$ es decir $a_0 \geq 0$. También necesitamos que $f(x)$ es el aumento en $x=0$.

Los puntos de inflexión entre los ceros de $f(x)$, por lo que la otra condición es que los ceros de la derivada $f'(x)$ son negativos (tiene que ver con el aumento en $x=0$ y los valores pueden ser fácilmente expresada en términos de los coeficientes). [si no contamos con la condición de que no eran tres distintas raíces ya, sería posible que la derivada de no tener raíces reales, y la condición en $a_0$, a continuación, asegúrese de que la raíz no fue positivo].

Si $a_3<0$ aplicar los mismos criterios a $-f(x)$.

Con $a_3>0$ la condición para que tres raíces reales es equivalente al máximo local (y) es mayor que cero, y el mínimo local de ser menor que cero.