¿Si F es un campo, $F[x,y]$ es un dominio de ideales principales?

Question

Que $F$ ser un campo, y $F[x,y]$ ser un anillo de polinomios en dos variables. ¿$F[x,y]$ Es un dominio de ideales principales?

También muestran que $F[x,y]/(y^2-x)$ y no son isomorfos para cualquier campo $F[x,y]/(y^2-x^2)$ $F$.

Answer 1

No; por ejemplo, $(x,y)$ es un ideal maximal que no es principal en $F[x,y]$.

Y también, $F[x,y]/(x^2-y^2)$ no es un dominio integral desde $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. Por otro lado, el polinomio $y^2-x$ es irreducible y por lo tanto $F[x,y]/(x-y^2)$ es un dominio integral.

Answer 2

Si $A$ es un anillo comutativo, un resultado clásico indica que el anillo polinómico $A[x]$ es un PID si y sólo si $A$ es un campo. Es un buen ejercicio.

En su caso, como $F[x]$ no es un campo, $F[x,y] \simeq (F[x])[y]$ no puede ser un PID. (No estoy afirmando que es la mejor prueba).

Para la segunda pregunta, respuesta de Bruno será difícil mejorar.

Answer 3

Uno es más fácil manera de ver, existen de $(y^2-x)|f(x,y)g(x,y) \implies$ $f_0(x),g_0(x)\in F[x]$ tal que $y^2-x|yf_0(x)+g_0(x)$ (si ninguno de $f,g$ son cero) que es claramente absurdo. Así, $(y^2-x)$ es ideal principal de $F[x,y]$