Absolutamente. Hay muchas circunstancias en las que la topología tiene importantes implicaciones para las teorías gauge.
Quizás el ejemplo más notable se refiere a la clasificación de los solitones en una teoría gauge que ha sufrido el mecanismo de Higgs. Si un grupo gauge $G$ es Higgsed a un subgrupo $H$ por un campo escalar $\phi$ se puede intentar encontrar configuraciones de campo estables que no se puedan deformar continuamente a la configuración del vacío (sin un coste infinito en energía). Para una configuración de campo de energía finita en $\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_\text{time}$ , $\phi$ debe asimilar una configuración de energía cero en el límite del espacio. Entonces $\phi$ define un mapa de una esfera infinitamente grande en el espacio $S^{d-2}$ a $G/H$ . Estos mapas se clasifican por $\pi_{d-2}(G/H)$ .
El ejemplo más sencillo aparece en el modelo abeliano de Higgs en $2+1$ dimensiones. Tenemos una teoría gauge U(1) con la acción $$ S = \int \mathrm{d}^3 x\, \left [ - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - V(|\phi|) \right],$$ con $$V(|\phi|) = \frac{\lambda}{4} (|\phi|^2 - v^2)^2.$$ Los mínimos clásicos se dan para $|\phi| = v$ y la simetría gauge es completamente Higgsed. El hamiltoniano es $$H = \int \mathrm{d}^2\mathbf{x} \left[\frac{1}{2} (E^2 + B^2)+ |D_i \phi|^2 + V(|\phi|) \right].$$ Buscamos una configuración de campo que no pueda deformarse continuamente a la solución del vacío. Si la configuración debe tener energía finita, $V(|\phi|)$ debe ir a cero en el infinito espacial, por lo que $|\phi|$ debe acercarse $v$ . La fase de $\phi$ no es fijo, sin embargo, $$\phi(r,\theta) \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} v e^{i\sigma(\theta)}.$$ Así, $\phi$ define un mapa del círculo en el infinito espacial a U(1), y así define una clase $[\phi]\in\pi_1(U(1))=\mathbb{Z}$ . Este número entero es el número de bobinado del mapa $\phi$ . Dado que un número entero no puede cambiar continuamente bajo deformaciones continuas de $\phi$ En este caso, una configuración de campo con un número de devanado distinto de cero no puede deformarse continuamente a la configuración de vacío (que tiene número de devanado cero). Por supuesto, también hay que tener cuidado de que los restantes términos del hamiltoniano sean finitos. Una vez hecho esto, se puede deformar esta configuración de campo topológicamente no trivial hasta minimizar la energía y obtener así una configuración de campo estable que no está conectada al vacío. Este solitón se llama vórtice. Para más detalles, véase, por ejemplo Preskill, Lectures on Vortices and Monopoles .
Daré otro ejemplo de aplicación, algo más abstracto. Una teoría gauge con grupo gauge $G$ sobre una variedad de espacio-tiempo $M$ se describe matemáticamente por un principal $G$ -Asamblea $P$ en $M$ , $G \to P \to M$ . Dicho haz se clasifica por clases características en los grupos de cohomología $\left\{H^k(M,\pi_{k-1}(G))\right\}_{k=1}^{\dim M}$ . Para una variedad de cuatro dimensiones, estos son los grupos $$H^1(M,\pi_0(G))\\ H^2(M,\pi_1(G))\\H^3(M,\pi_2(G))\\H^4(M,\pi_3(G)).$$ Dejemos que el grupo gauge sea conectado, de modo que $\pi_0(G) = 0$ y $H^1(M,\pi_0(G)) = 0$ . Para cualquier grupo de Lie $G$ , $\pi_2(G) = 0$ Así que $H^3(M,\pi_2(G))$ también es irrelevante. Para todos los grupos de Lie clásicos $\pi_3(G) = \mathbb{Z}$ (excepto para $G = \mathrm{SO(4)}$ ). Entonces la clase en $H^4(M,\mathbb{Z})$ especifica el número de instantón del paquete.
Por último, tenemos $H^2(M,\pi_1(G))$ . Si el grupo de galgas no es simplemente conectado ( $\pi_1(G) \neq 0$ ), una clase de este grupo proporciona datos topológicos adicionales necesarios para especificar la teoría gauge más allá del número habitual de instantones. Una clase característica en este grupo se denomina flujo magnético discreto o flujo 't Hooft de la teoría gauge. Para una mayor discusión de este tipo de ideas, véase, por ejemplo Witten, índice supersimétrico en las teorías gauge de cuatro dimensiones .
