Pensamientos que guían una prueba en álgebra abstracta

Question

Me gustaría saber cuáles son las estrategias que utiliza demostrar teoremas abstractos. Tengo un ejemplo en particular en mente. Yo trabajaba algunas horas en una prueba de lo siguiente:

En el diagrama de los módulos con el módulo correspondiente homomorphisms se muestran. El homomorphisms f y g son, de hecho, isomorphisms. Además, las filas son exactas secuencias. Tarea: Mostrar que también h es un isomorfismo. \begin{array}{ccccccc} 0 & \to & A & \to & C & \to & B & \to & 0 \\ & & \downarrow f & & \downarrow h & & \downarrow g \\ 0 & \to & A' & \to & C' & \to & B' & \to & 0 \end{array}

Me gustaría que no están presentes en mis pensamientos desde el principio, así que no se echen a perder cualquier agradable ideas. Para mí es muy interesante que las estrategias que utiliza para demostrar el teorema. Hacer de empezar a trabajar en una forma mecánica? Qué tratas de convencerte a ti mismo de la verdad del teorema usando alguna heurística razonamiento? Hacer que te olvidas de la meta en primer lugar y se derivan algunas de las propiedades que podrían ayudar? ¿Trabajan con algunas imágenes mentales?

Answer 1

Definitivamente, me gustaría empezar por tratar de convencerme de la verdad del teorema usando alguna heurística razonamiento. Entre otras cosas, me gustaría mentalmente descartar el corto exacta secuencias en favor de los submódulos y cosets. En este caso, tenemos un homomorphism $h\colon C\to C'$ entre los dos módulos con las siguientes propiedades:

1. $h$ mapas de algunos submódulo $A$ $C$ isomorphically a un submódulo $A'$$C'$.

2. Por otra parte, $h$ induce un bijection entre los cosets de $A$ y el cosets de $A'$.

A partir de este razonamiento, parece claro que la $h$ será un bijection, desde el mapa de cada coset de $A$ a la correspondiente coset de $A'$ será similar al isomorfismo de$A$$A'$.

Lo siguiente que iba a escribir el esquema de persecución de la prueba. Sin embargo, yo estaría pensando en términos de submódulos y cosets, y cambiar el idioma a corto exacta secuencias como escribo. Aquí está el argumento de que iba a ir a través de mi cabeza:

Inyectiva: Supongamos $h(c_1) = h(c_2)$ algunos $c_1$$c_2$. Desde $h$ actos bijectively en cosets, $c_1$ $c_2$ debe estar en el mismo coset de $A$. A continuación, $c_1 - c_2$ es un elemento de $A$ que se asigna a $0$ bajo $h$, lo $c_1 = c_2$.

Surjective: Vamos A $c' \in C'$. ¿Cómo podemos encontrar un elemento de $C$ que se asigna a bajo $h$? Bien, sabemos que el $h$ actos bijectively en cosets, por lo que podemos encontrar un coset $c+A$ que se asigna a $c'+A'$ bajo $H$. Si elegimos un representante de $c$ de este coset, no tiene que ser necesariamente el caso de que $h(c) = c'$. Sin embargo, es cierto que $h(c) = c' + a'$ algunos $a' \in A'$. A continuación, $h(c-a) = c'$ donde $a$ es el elemento de la $A$ que se asigna a $a'$.

He aquí lo que le parezca escrito:

\begin{array}{ccccccc} 0 & \to & A & \xrightarrow{i} & C & \xrightarrow{\pi} & B & \to & 0 \\ & & \downarrow f & & \downarrow h & & \downarrow g \\ 0 & \to & A' & \xrightarrow{i'} & C' & \xrightarrow{\pi'} & B' & \to & 0 \end{array}

Inyectiva: Vamos a $c_1,c_2\in C$, y supongamos que $h(c_1) = h(c_2)$. Entonces $$ g(\pi(c_1)) \;=\; \pi'(h(c_1)) \;=\; \pi'(h(c_2)) = g(\pi(c_2)). $$ Desde $g$ es inyectiva, se deduce que el $\pi(c_1) = \pi(c_2)$, lo $\pi(c_1 - c_2) = 0$. De ello se desprende que $c_1 - c_2 = i(a)$ algunos $a\in A$. A continuación,$i'(f(a)) = h(i(a)) = h(c_1-c_2) = 0$. Desde $i'$ $f$ es inyectiva, se sigue que la $a = 0$, lo $c_1 = c_2$.

Surjective: Vamos A $c'\in C'$. Desde $g \circ \pi$ es surjective, existe un $c\in C$, de modo que $g(\pi(b)) = \pi'(c')$. A continuación,$\pi'(h(b)) = \pi' (c')$, lo $h(b) - c' \in \ker(\pi')$. De ello se desprende que $h(c) - c' = i'(a')$ algunos $a' \in A'$. Desde $f$ es surjective, existe un $a\in A$, de modo que $f(a) = a'$. Entonces $$ h(c-i(a)) \;=\; h(c) - h(i(a)) \;=\; h(c) - i'(f(a)) \;=\; h(c) - i'(a') \;=\; h(c) - (h(c) - c') \;=\; c'. $$

Answer 2

Con este tipo particular de problema, persiguiendo a diagrama simple suele ser el camino a seguir. Demostrar que si asigna $c\in C$ $0$ $h$ y $c=0$; demuestran que cualquier $c'\in C'$ en la imagen de $h$. Exactitud de las filas junto con el hecho de que el $f$ y $g$ son isomorfismos son clave, y proporcionan la respuesta straighforwardly lo suficiente.

Answer 3

No es un acercamiento elemental a este problema, pero en la primera "aplicación" de los espectral de las secuencias que he visto fue a tomar el diagrama, lo reconocen como un doble complejo, y utilice el hecho de que el doble de los complejos tienen dos espectral secuencias asociadas con ellos, que a menudo puede ser jugado el uno del otro. La primera vez que vi esto en las notas de Ravi Vakil, aunque me parece no puede encontrar ahora mismo. El método se describe en este matemática desbordamiento de respuesta.

El método usual para abordar un problema como este, como Arturo dice en su respuesta, es el diagrama de perseguir: mirar a los elementos individuales de los grupos y ver a dónde van como usted se mueve alrededor del diagrama. Diagrama de perseguir es importante y fundamental de la técnica que se va a hacer tal vez una docena de veces para probar varios lemas, y, a continuación, usted nunca va a hacer porque el lema es suficiente. En particular, este problema en particular es un caso especial de los cinco lema, y después de crear otros fundamentos de álgebra homológica, tales como el lema de la serpiente, la construcción y la comparación de los derivados de functors, y algunos de los resultados sobre espectral de las secuencias, se queda sin la necesidad de hacer explícito el diagrama de caza.

Sin embargo, para responder a la pregunta que se formula: cuando me abordar el problema, en primer lugar quisiera pedirle si es similar a cualquier cosa que he resuelto previamente. Si nada viene a la mente, miro para cualquier estructura que puedo que me pueda razonablemente utilizar. En ocasiones, si no tengo una buena sensación de lo que está pasando, voy a tratar de llegar con un simple ejemplo y ver si es vulnerable a algún tipo de especializados ataque, aunque esto puede ser difícil, ya que un programa que es de difícil abordaje es a menudo resistente a los intentos de encontrar ejemplos (aunque a veces, por tomar un caso especial en el que tiene más propiedades para trabajar con, usted puede solucionar el problema a pesar de no ser capaz de encontrar un ejemplo claro).

Todas las cosas que mencionas son buenas técnicas, y lo que funciona mejor para los demás puede que no funcione para usted. La más problemas que resolver, sin embargo, más técnicas que va a recoger, y la mejor sentir que usted conseguirá para atacar los problemas.