Integral de Riemann de la función continua no negativa

Question

Supongamos que es continua en $f\geqslant 0$ $f$, $[a,b]$ y $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=0.$ demostrar que $f\equiv 0$ $[a,b]$.

Prueba: Definiremos la función $F(x)=\int \limits_{a}^{x}f(t)dt$. Sabemos que $F(x)$ es continua desde $f$ está limitado y también $F(x)$ es diferenciable ya que es continuo $f$ $F'(x)=f(x)$ para cualquier punto $x\in [a,b]$.

También $F(x)=0$ para cualquier $x\in [a,b]$. Por? Ya que $$0=\int \limits_{a}^{b}f(t)dt=\int \limits_{a}^{x}f(t)dt+\int \limits_{x}^{b}f(t)dt$$ but both terms are non-negative. Hence $ f (x) =0$ for any $x\in [a, b] $. Thus $F ' (x) = f (x) = 0$. Q.E.D.

¿Qué parece esa prueba?

Answer 1

Una otra manera

Desde $f\geq 0$, está aumentando la función $F:x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ $[a,b]$. Por lo tanto, si $x\in [a,b]$, $$0\leq F(x)\leq F(b)=0,$ $ lo que probar el reclamo.

Answer 2

La prueba parece estar bien.

También es posible, darle una prueba por contradicción. Supongamos que $f(x) \ne 0$ $x \in [a,b]$...

Answer 3

La pregunta ya está contestada, pero te daré una respuesta alternativa en términos de la teoría de Lebesgue. Puesto que es continua en $f$ $[a,b]$, es Lebesgue integrable. Como $f\geqslant0$ $\int f\ \mathsf d\mu = 0$, $f=0$ a.e.

Para ver esto, que $E_n = \left\{x: f(x)>\frac1n\right\}$. Entonces si $\mu(E_n)>0$ para cualquier $n$, tenemos $$\int f\ \mathsf d\mu \geqslant \frac{\mu(E_n)}n > 0, $ $ una contradicción.