Dada una matriz A, cómo encontrar B tal que AB=BA

Question

Dejemos que $A = \begin{pmatrix} 1 & 1& 1\\ 1 & 2 &3 \\ 1 &4 & 5 \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 2 & 0& 0\\ 0 & 3 &0 \\ 0 &0 & 5 \end{pmatrix}$ .

Se ha comprobado que multiplicación por la derecha por D multiplica cada columna de A por la correspondiente entrada diagonal de D, mientras que multiplicación por la izquierda por D multiplica cada fila de A por la correspondiente entrada diagonal de D.

Construye una matriz B de 3 x 3, no la matriz identidad ni la matriz cero, tal que $AB=BA$ .

Answer 1

Nótese que el determinante de $A$ es $-2$ por lo que su matriz es invertible, es decir, existe alguna matriz $B=A^{-1}$ tal que $AB=BA=I$ . Si lo he calculado correctamente $$B = \begin{pmatrix} 1 & 1/2& -1/2\\ 1 & -2 &1 \\ -1 & 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}.$$

Answer 2

Como dijo Alex Becker, podríamos utilizar cualquier múltiplo escalar de $I$ o $A^n$ donde $A^n = A\cdot A \dots A$ donde $A$ se multiplica por sí mismo $A$ tiempos. También podríamos utilizar $A^{-1}$ o $(A^{-1})^n$ .

Supongamos que tenemos unas matrices cualquiera $B$ y $C$ que satisfagan $AB=BA$ y $AC=CA$ . Entonces, $A(c_1 B + c_2 C) = c_1 A B + c_2 A C = c_1 BA + c_2 CA = (c_1 B + c_2 C)A$ .

De esto concluimos que la colección de todas las matrices que conmutan con $A$ (bajo multiplicación de matrices) forma un espacio vectorial, ya que cualquier combinación lineal de matrices que conmuta con $A$ también se desplazará con $A$ .

Answer 3

Observe que $A$ es diagonalizable, por lo que cualquier matirx con los mismos vectores propios conmutará con $A$ por ejemplo

$$B = \begin{pmatrix} 0.2481 & 0.31385 & -0.034765 \\ 0.48816 & -0.65821 & 0.76725 \\ -0.20907 & 1.0811 & 0.28335 \end{pmatrix}$$