¿Qué significa $dx$?

Question

$dx$ aparece en ecuaciones diferenciales, como las derivadas e integrales.

Por ejemplo, una función $f(x)$, su primera derivada es $\dfrac{d}{dx}f(x)$ y su integral $\displaystyle\int f(x)dx$. Pero realmente no entiendo qué es $dx.

Answer 1

La definición formal de una expresión como $$ \int_0^1 x^2\,dx $$ dependerá del contexto. Esto se debe a que no hay solo una "teoría de la integración" - hay varias teorías diferentes en diferentes áreas.

Me gusta la presentación al inicio de esta nota de Terence Tao. El punto clave es que hay realmente al menos tres puntos de vista diferentes sobre la integración en cálculo elemental:

• Integración indefinida, que calcula antiderivadas

• Una "integral definida no firmada" para encontrar áreas bajo curvas y masas de objetos

• Una "integral definida firmada" para calcular el trabajo y otros cálculos de "cambio neto".

El valor de una expresión como $\int_0^1 x^2\,dx$ sale igual bajo todas estas interpretaciones, por supuesto.

En configuraciones más generales, las tres interpretaciones se generalizan de diferentes maneras, de modo que el "dx" llega a significar cosas diferentes. En el contexto de la teoría de la medida, "dx" se interpreta como una medida; en el contexto de la geometría diferencial, se interpreta como una 1-forma.

Pero, para los propósitos del cálculo elemental, el único papel del "dx" es decirnos qué variable es la variable de integración. En otras palabras, nos permite distinguir $$ \int_0^1 uv\,du = v/2 $$ de $$ \int_0^1 uv\,dv = u/2 $$

Answer 2

Formalmente, $dx$ no significa nada. Es solo un dispositivo sintáctico para indicarte la variable respecto a la cual diferenciar o la variable de integración.

Answer 3

Como Silvanus Thompson lo expresó en su libro Calculo hecho fácil: $\mathrm dx$ significa "un poco de $x$".

Si eso no es satisfactorio, hay varias explicaciones más precisas. Una de ellas es: $\mathrm dx$ es una forma diferencial uno.

Answer 4

$dx$ significa una cantidad muy muy pequeña, $dx=x_2-x_1$ donde $x_1$ y $x_2$ muy muy cerca de $x$ (en geometría una distancia muy pequeña), cuando derivas $\frac{d}{dx}f(x)$ significa que calculas la proximidad de $df(x)$ y $dx$, al integrar, el signo $\int$ significa una suma continua, entonces $\int f(x) dx$ significa una suma continua de todas las cantidades $f(x) dx$ (geométricamente rectángulos muy muy pequeños), en términos graduados $dx$ es un mapa lineal (forma diferencial).

Answer 5

El d$x$ proviene de la aproximación del área bajo una curva mediante una suma discreta de delgadas rebanadas rectangulares de alturas $f(x_i)$ y anchos iguales $\Delta x = x_{i+1}-x_i$. Busca sumas de Riemann para más detalles. Así que el área es entonces aproximadamente $\sum^n_{i=1} f(x_i) \Delta x$. Esta aproximación se vuelve exacta cuando $\Delta x$ se hace arbitrariamente pequeño, lo cual se simboliza reemplazando $\Delta x$ por d$x$ (y $\sum$ por $\int$). Para derivadas, la historia es similar; sólo reemplaza "área" en lo anterior por "pendiente" o "gradiente", donde la aproximación es ahora una cuerda de longitud d$x$ a lo largo de la dirección X. NB: la notación correcta es d$x$, no $dx$.