Una pregunta sobre los subgrupos normales en teoría de grupos

Question

¿Si $K$ es un subgrupo normal de $H$ y $H$ es un subgrupo normal de $G$, es verdad que $g^{-1} K g$ es un subgrupo normal de $H$ % todo $g \in G$?

Creo que sé la respuesta, pero solo quiero Compruebe! Gracias.

Answer 1

Sí. En primer lugar tenga en cuenta que como es normal en $H$ $G$, $g^{-1}Kg$ es un subgrupo de $H$. Ahora Supongamos que $h \in H$ y considerar $h^{-1}g^{-1}Kgh$. Como es normal en $H$ $G$, tenemos $gh=lg$ $l \in H$. Pero entonces $h^{-1}g^{-1}Kgh$ = $g^{-1}l^{-1}Klg$. Ya que es normal en $K$ $H$ $l$ se encuentra en $H$, tenemos $l^{-1}Kl=K$ y así $h^{-1}g^{-1}Kgh$ = $g^{-1}l^{-1}Klg=g^{-1}Kg$, como se desee.

Answer 2

Sí. es normal en $h^{-1}(g^{-1}Kg)h = (h^{-1}g^{-1})K(gh) = g^{-1}u^{-1}Kug = g^{-1}Kg$ $u\in H$, $H$ desde $G$.