Algunos resultados en $\mathbb{Z} [\sqrt{10}]$

Question

Esta es una pregunta de un antiguo trabajo de grado de Oxford sobre cálculos en $\mathbb{Z} [\sqrt{10}]$ . Equipamos este anillo con la función de Euclides $d(a+b\sqrt{10})=|a^2-10b^2|$ . Quiero demostrar los siguientes resultados:

1. Si $d(x)=1$ entonces $\frac{1}{x} \in \mathbb{Z} [\sqrt{10}]$
2. Cualquier elemento no nulo de $\mathbb{Z} [\sqrt{10}]$ que no es una unidad puede expresarse como un producto de un número finito de irreducibles en $\mathbb{Z} [\sqrt{10}]$
3. El ideal generado por $2$ y $\sqrt{10}$ no es principal en $\mathbb{Z} [\sqrt{10}]$

Pensamiento hasta ahora

1. Supongamos que $x=a+b\sqrt{10}$ . Evidentemente, si $x$ es una unidad, entonces $d(x)=1$ Aunque no estoy seguro de que esto ayude. ¿Está bien simplemente señalar que $\frac{1}{x}=\frac{a-b\sqrt{10}}{a^2-10b^2}$ y como $d(x)=1$ entonces el deonminador es $1$ o $-1$ .

2. Sé que esto es cierto en general en un dominio ideal principal y todo anillo euclidiano es un dominio ideal principal, pero esta prueba es larga. ¿Hay algún cálculo que se pueda realizar en $\mathbb{Z} [\sqrt{10}]$ para demostrar esta propiedad más rápidamente.

3. Cualquier ayuda sería apreciada; en realidad no estoy muy seguro de lo que este ideal se ve establecido. ¿Podría alguien ponerlo en una notación de conjunto para mí?

Muchas gracias.

Answer 1

Me parece que (1) y (3) se tratan adecuadamente en los comentarios (pero estaría encantado de incorporarlo aquí si lo necesitas). Para (2), el punto clave es que el anillo es noetheriano, lo cual es efectivamente una consecuencia del teorema de la base de Hilbert, que implica que un anillo polinómico $\mathbb{Z}[x]$ es noetheriano, y el hecho de que un anillo cociente de un anillo noetheriano es noetheriano. Dado esto, cada elemento se puede escribir como un producto de irreducibles, ya que de lo contrario se obtiene una cadena ascendente infinita de ideales.

Aquí tienes más detalles sobre (3): En primer lugar, observe que $d(xy)=d(x)d(y)$ para todos $x,y$ y que $d(2)=4$ y $d(\sqrt{10})=10$ . Así, cualquier divisor común $x$ tiene $d(x)|2$ . Si $x$ es una no unidad esto implica $d(x)=2$ . Así, suponiendo un divisor común no unitario $x$ existe, hay enteros $a,b$ con $$\pm 2=a^2-10b^2.$$ Considere esta ecuación módulo $10$ . Esto implica que, o bien $2$ o $8$ es un cuadrado mod $10$ , pero los cuadrados módulo $10$ son sólo $0,1,4,9,6,5$ . Por lo tanto, no hay ningún divisor común no unitario $x$ . Por otro lado, el ideal es propio ya que sus elementos son todos de la forma $a+b\sqrt{10}$ con $a$ incluso. Por lo tanto, no es principal.

Answer 2

El conjunto Z[10] hace uso de medio-primas que debe ocurrir en números pares. Esto es bastante normal para muchos de estos tipos de sistemas. Estos medios primos viven en alguna otra parte que tiene esta misma proporción, es decir $a\sqrt{5}+b\sqrt{2}$ . En algunos sistemas, como z[3], hay incluso uits, por ejemplo $(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2$ .

En el caso de Z[10] (y de muchos otros esquemas), hay subespacios que contienen primos, pero no hay ninguna unidad que se traslade a ese espacio.

Un ejemplo es el de Z[210], que tiene tres subespacios $a\sqrt{3}+b\sqrt{70}$ y $a\sqrt{2}+b\sqrt{105}$ y $a\sqrt{6}+b\sqrt{35}$ y una unidad $\sqrt{15}+\sqrt{14}$ que pasa a otro conjunto de subespacios. Este grupo tiene no menos de ocho subespacios, enlazados por pares, y los primos pueden encontrarse individualmente en cualquiera del grupo principal, o de los tres subgrupos (3), (2), (6). Un número aparece en el grupo principal, si el producto de los primos especiales del subgrupo, se multiplica hasta un cuadrado. Por ejemplo, los factores primos de 29 son $\sqrt{35}+\sqrt{6}$ . y por 7, se puede encontrar en $\sqrt{105}+7\sqrt{2}= \sqrt{7}*(\sqrt{15}+\sqrt{14})$ pero como 6*2 da 12, se necesita otro primo de tipo '3' para que aparezca en Z[210].

Esto es más o menos el orden del día de los números compuestos de este tipo.