¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de un agujero en una burbuja de jabón?

Question

Imagine la siguiente situación: tengo una delgada estacionaria de agua de la película, como una burbuja de jabón, suspendido en el interior de un anillo grande. Lanzo un pequeño bucle de cadena en la película y perforar un agujero en su interior. ¿Cómo puedo describir el movimiento de el agujero en la capa de agua delimitada por el bucle de cuerda? La tensión superficial de los alrededores de la película se tienden a minimizar la relación entre la longitud de la frontera y de la circunferencia, de modo que el agujero en forma de disco. Además, si el peso de la cadena que los límites del agujero es menor que el peso de una película de agua con la superficie dada por el interior de los dos, entonces la masa efectiva del agujero será negativo, es decir, si la película está sujeto a un campo gravitatorio, a continuación, el agujero se tienden a moverse hacia arriba.

¿Cuál es la manera correcta de describir un sistema? ¿Cómo puedo obtener sus ecuaciones de movimiento?

Answer 1

Deje que el anillo grande colocarse verticalmente. Por simplicidad, consideremos una ligera cadena, que espesor es igual al espesor de la película. Supongamos también que el agujero está bastante lejos de la orilla del anillo de modo que podemos ignorar los fenómenos en la superficie de la película. A continuación, la velocidad de la creciente agujero puede ser estimada de la siguiente manera:

La fuerza de flotación que actúa sobre el agujero:

$$F_b=\rho gV=\rho g\pi R^2h$$ where $\rho$ is density of water, $g$ is acceleration of gravity, $R$ is radius of the hole and $h$ es el espesor de la película.

A continuación, tenemos una fórmula para el arrastre en el agujero . Podemos utilizar una fórmula para un cilindro infinito, que se mueve lentamente en un fluido, perpendicular a su eje:

$$F_d=\frac{4\pi\eta v}{\ln\frac{3.7\nu}{Rv}}$$ where $\eta$ is dynamic viscosity and $\nu$ es la viscosidad cinemática del agua.

Este es el arrastre por unidad de longitud del cilindro. La derivación de la fórmula se da por ejemplo en: H. Cordero, la Hidrodinámica.

Ahora, lo que equivale a la fuerza de empuje y la fuerza de arrastre se obtiene una ecuación para el aumento de la velocidad de la $v$ del hoyo:

$$gR^2=\frac{4\nu v}{\ln\frac{3.7\nu}{Rv}}$$ Here we used the formula $\nu=\frac{\eta}{\rho}$. Esta es una ecuación trascendental.

Para obtener alguna estimación utilizamos $\nu=0.01\frac{cm^2}{s}$$20^\circ C$$g=1000\frac{cm}{s^2}$. Vamos a introducir una nueva variable $x=\frac{3.7\nu}{Rv}$. Entonces la ecuación puede ser escrita de la siguiente manera:

$$x\ln x=\frac{14.8\nu^2}{gR^3}$$ Now we have seen that $x\aprox 1$ holds for all real values ​​for the radius of the hole $R$. That means we get a simple estimation for $v$:

$$v=\frac{3.7\nu}{R}$$ For example a hole with radius $R=1cm$ moves up with speed $v=0.037\frac{cm}{s}\approx 0.4\frac{mm}{s}$