¿Que satisfaga esta desigualdad para todos los números reales existe una función uno a uno?

Question

¿Existe una función uno a uno $f: \Bbb R \to \Bbb R $ tal que $f(x^2) - (f(x))^2 \geq \frac 1 4\ \ \forall x \in \Bbb R$?

He probado esto con muchas funciones uno a uno, pero la desigualdad no tiene, por lo que creo que existe ninguna tal función. ¿Alguna idea sobre cómo puedo demostrarlo?

Mi primer movimiento fue a comprobarlo con $x = 0$ y $x = 1$ y $\frac {-1}2 \leq f(0), f(1) \leq \frac 1 2$. Aún así, no sé cómo seguir.

Answer 1

Para $x$ $0$ o $1$, si escribimos $y = f(x)$, obtenemos

$$ y - y^2 \geq \tfrac{1}{4}. $$

Después de completar el cuadrado, nos encontramos con que

$$ 0 \geq (y - \tfrac{1}{2})^2, $$

así que debemos tener $f(0) = f(1) = \tfrac{1}{2}$, una contradicción a la inyectividad.

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Aquí es un poco diferente, sin embargo, trivial observación: Suponga que el $0 < a < 1 < b$ $f : (a, b) \to \Bbb{R}$ satisface

$$ f(x) \geq f(\sqrt{x})^{2} + \tfrac{1}{4} \quad \text{for } a < x < b. \tag{1} $$

(Esto tiene sentido ya que los $\sqrt{x} \in (a, b)$ siempre $x \in (a, b)$.) Primera observación es que el $f \geq \tfrac{1}{4}$$(a, b)$. En particular, $f$ es siempre positivo.

Por otra parte, si denotamos $g(t) = t^{2} + \frac{1}{4}$, $g$ es el aumento en $[0, \infty)$. Así que por iteración $(1)$ hemos

$$ f(x) \geq g(f(x^{1/2})) \geq g^{2}(f(x^{1/2^{2}})) \geq \cdots \geq g^{n}(f(x^{1/2^{n}})) \geq g^{n}(0). $$

Es fácil comprobar que $g^{n}(0) \to \frac{1}{2}$$n \to \infty$, por lo que tenemos

$$ f(x) \geq \tfrac{1}{2}. $$

En particular, $f$ alcanza el mínimo global en $x = 1$. Una consecuencia de esta observación es que la $f$ no puede ser inyectiva y continua.