Cómo mostrar $\{\{x\}\} \neq x$ ?

Question

Dejemos que $x$ sea un conjunto cualquiera. Usando los axiomas de ZFC, cómo demostrar $(x,x)=\{\{x\}\} \neq x$ ?

Una pregunta similar: $\bigcup x \neq x?$

Preguntas resueltas: $x \neq P(x)$ ( $x$ es un subconjunto de $x$ pero $x \notin x$ por el axioma de la Fundación)

$\{x\}=\{x,x\}\neq x$ (por el axioma de la Fundación)

Answer 1

Parece lo siguiente:

Si $\{\{x\}\}=x$ entonces pon $y=\{x\}$ . Entonces $y\ni x\ni y\dots$ eso es imposible.

$\bigcup\varnothing=\varnothing$ .

Answer 2

Si $x = \{ \{ x \} \}$ entonces $x \in \{ x \} \in \{ \{ x \} \} = x$ por lo que el conjunto $\{ x , \{ x \} \}$ no tiene $\in$ -elemento mínimo (Fundación contradictoria).

La segunda afirmación no es cierta. Es evidente que no es cierta para $\varnothing$ y, como menciona Andrés Caicedo más adelante, no es cierto para muchos conjuntos no vacíos.