Demostrar que las series convergen para casi todos los $x$

Question

Sea $f\in L^p(\mathbb{R})$ , $1<p<\infty$ y que $\alpha>1-\frac{1}{p}$ . Demuestre que la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\int_n^{n+n^{-\alpha}} |f(x+y)|dy$$ converge para a.e. $x\in \mathbb{R}$ .

La pregunta procedía de antiguo examen de aptitud .

Aunque no se especifica, en el contexto de la medida de prueba sobre $\mathbb{R}$ es siempre la medida de Lebesgue.

Defino $q=(1-\frac{1}{p})^{-1}$ . La integral puede estimarse mediante la desigualdad de Hölder $$\begin{align}\int_n^{n+n^{-\alpha}} |f(x+y)|dy&=\int_{n+x}^{n+n^{-\alpha}+x} |f(y)|dy\\&=||f||_1\\&\leq||f||_p||1||_q\\&=\left(\int_{n+x}^{n+n^{-\alpha}+x} |f(y)|^pdy\right)^{\frac{1}{p}}(n^{-\alpha})^{\frac{1}{q}}\end{align}$$

Aquí $||\cdot||_p$ significa la norma sobre $L^p \left([n+x,n+n^{-\alpha}+x]\right)$ .

Supongamos que podemos demostrar la integral $\int_{n+x}^{n+n^{-\alpha}+x} |f(y)|^pdy$ decae más rápido que $n^{-(1+\frac{1}{q})}$ entonces el $n^{th}$ debería decaer más rápido que $\frac{1}{n}$ y, por tanto, convergen. Sin embargo, esto es lo más lejos que puedo llegar, ¿alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

Consideremos la función no negativa $$F(x):= \sum_{n\geq1}\int_{n}^{n+n^{-\alpha}}|f(x+y)| \, dy$$ y observe que si conseguimos demostrar que $F\in L^{1}(\mathbb{R})$ el problema está resuelto. Ahora vamos a reescribir $F$ realizando el cambio de variable $y=t+n$ . Simplemente obtendremos $$F(x)=\sum_{n\geq1}\int_{0}^{1}\chi_{[0,n^{-\alpha}]}(t)|f(x+t+n)| \, dt$$ Calculando ahora la integral de $F$ obtenemos $$\int_{\mathbb{R}}F(x) \, dx = \sum_{n\geq1}\int_{\mathbb{R}}\int_{0}^{1}\chi_{[0,n^{-\alpha}]}(t)|f(x+t+n)| \, dt \, dx = \sum_{n\geq1}\int_{0}^{1}\chi_{[0,n^{-\alpha}]}(t)\int_{\mathbb{R}}|f(x+t+n)| \, dx \, dt $$ donde el primer paso se justifica por el teorema de Beppo-Levi y el último por el teorema de Tonelli. Ahora utilizando la desigualdad de Holder obtenemos $$\int_{0}^{1}\chi_{[0,n^{-\alpha}]}(t)\int_{\mathbb{R}}|f(x+t+n)| \, dx \, dt \leq \left(\int_{0}^{1}\chi_{[0,n^{-\alpha})}(t) \, dt\right)^{1/q}\, \left(\int_{0}^{1}\left(\int_{\mathbb{R}}|f(x+n+t)|\, dx\right)^{p} \, dt\right)^{1/p}$$ Ahora usando la desigualdad de Jensen sobre la función convexa $u\mapsto u^{p}$ (ya que p>1) tenemos que $$\int_{0}^{1}\left(\int_{\mathbb{R}}|f(x+n+t)|\, dx\right)^{p} \, dt \leq \int_{0}^{1}\int_{\mathbb{R}}|f(x+n+t)|^{p}\, dx \, dt= ||f||_{p}^{p}$$ Donde el último paso se deduce de que la medida de Lebesgue invariante bajo traslación. Ahora simplificando obtenemos que $$\int_{0}^{1}\chi_{[0,n^{-\alpha}]}(t)\int_{\mathbb{R}}|f(x+t+n)| \, dx \, dt \leq \frac{1}{n^{\alpha/q}} \, ||f||_{p}$$ De ahí que finalmente lleguemos a $$\int_{\mathbb{R}}F(x) \, dx \leq ||f||_{p} \, \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^{\alpha/q}} < \infty $$ desde $\frac{\alpha}{q} >1$ por suposición, demostrando así la afirmación.

Answer 2

Supongamos que $f\ge0$ para ahorrar tecleo. Deje que $q$ sea el exponente conjugado. Ahora $$\begin{aligned}\int_0^1\int_n^{n+n^{-\alpha}}f(x+y)\,dydx &=\int_n^{n+n^{-\alpha}}\int_0^{1}f(x+y)\,dxdy \\&=\int_n^{n+n^{-\alpha}}\int_y^{y+1}f(x)\,dxdy \\&\le \int_n^{n+n^{-\alpha}}\int_n^{n+2}f(x)\,dxdy \\&= n^{-\alpha}\int_n^{n+2}f(x)\,dx\end{aligned}.$$

Así que si $F(x)$ es esa suma entonces $$\int_0^1F(x)\,dx\le\int fK,$$ donde $$K=\sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha}\chi_{(n,n+2)}.$$

El hecho de que $\alpha q>1$ muestra que $K\in L^q$ . Así que $\int_0^1 F<\infty$ Por lo tanto $F(x)<\infty$ para casi todos los $x\in[0,1]$ . Del mismo modo para $x\in[k,k+1]$ .